Персональний сайт - перехресні прямі

a α, b α = A. A a (креслення 2.1.2). Припустимо, що прямі a і b не схрещуються, тобто вони перетинаються. Тоді існує площину β, якій належать прямі a і b. У цій площині β лежать пряма a і крапка A. Оскільки пряма a і крапка A поза її визначають єдину площину, то β = α. Але b β і b α, отже, рівність β = α неможливо.

Дві перехресні прямі мають загальний перпендикуляр, і при тому тільки один. Він є загальним перпендикуляром паралельних площин, що проходять через ці прямі.

Нехай a і b - дані перехресні прямі. Проведемо через них паралельні площині α і β. Прямі, які перетинають пряму a і перпендикулярні площині α, лежать в одній площині (γ). Ця площина перетинає площину β по прямій a`, паралельної a. Нехай B - точка перетину прямих a` і b. Тоді пряма AB, перпендикулярна площині α, перпендикулярна і площини β, так як β паралельна α. Відрізок AB - загальний перпендикуляр площин α і β, а значить, і прямих a і b.
Доведемо, що цей загальний перпендикуляр єдиний. Припустимо, що у прямих a і b є інший загальний перпендикуляр CD. Проведемо через точку С пряму b`, паралельну b. Пряма CD перпендикулярна прямий b, а значить, і b`. Так як вона перпендикулярна прямій a, то вона перпендикулярна площині α, а значить, паралельна прямій AB. Виходить, що через прямі AB і CD, як через паралельні, можна провести площину. У цій площині лежатимуть наші перехресні прямі AC і BD, а це неможливо, що й треба було довести.

Відстанню між двома перехресними прямими називається довжина їх спільного перпендикуляра.