Основні формули комбінаторики - студопедія

Цей матеріал не відноситься безпосередньо до теорії ймовірності та математичної статистики, проте необхідний в подальшому при розрахунках ймовірностей. Комбінаторика походить від латинського слова «combinatio» - з'єднання.

Комбінаторика вивчає кількості комбінацій, підлеглих певним умовам, які можна скласти з елементів, байдуже який природи, заданого кінцевого безлічі. При безпосередньому обчисленні ймовірностей часто використовують формули комбінаторики. Наведемо найуживаніші з них.

Перестановками називаються комбінації, що складаються з одних і тих же n різних елементів і відрізняються тільки порядком їх розташування. Число всіх можливих перестановок де Іноді зручно розглядати 0. вважаючи за визначенням, 0! = 1.

Розміщеннями називають комбінації, складені з n різних елементів по m елементів, які відрізняються або складом елементів, або їх порядком. Число всіх можливих розміщень

Приклад 2.2. Правління банку вибирає з 10 кандидатів 3 людини на різні посади (всі 10 кандидатів мають рівні шанси). Скільки всіляких груп по 3 людини можна скласти з 10 кандидатів?

Необхідно розрахувати кількість комбінацій з 10 елементів по 3. Так як групи по 3 людини можуть відрізнятися і складом претендентів, і заповнюються ними вакансіями (вони всі різні), т. Е. Порядком, то для відповіді необхідно обчислити число розміщень з 10 елементів по 3 : Можна скласти 720 груп.

Поєднаннями називаються комбінації, складені з n різних елементів по m елементів, які відрізняються хоча б одним елементів. число сполучень

Приклад 2.3. Правління банку вибирає з 10 кандидатів 3 людини на однакові посади (всі 10 кандидатів мають рівні шанси). Скільки всіляких груп по 3 людини можна скласти з 10 кандидатів?

Склад різних груп повинен відрізнятися принаймні хоча б одним кандидатом і порядок вибору кандидата не має значення (всі вакансії однакові), отже, цей вид комбінацій являє собою поєднання

Можна скласти 120 груп з 10 чоловік по 3.

Слід розрізняти поєднання від розміщень. Наприклад, якщо в групі 20 студентів і 7 чоловік з них, вийшовши з аудиторії на перерву, стоять разом і розмовляють, то порядок, в якому вони стоять, не суттєвий. Число всіх можливих груп з 20 чоловік по 7 в даному випадку - поєднання. Якщо ж студенти вирушили на перерві в буфет або в касу за стипендією, то тоді істотно, в якому порядку вони стали, т. Е. Хто з них перший, хто другий і т. Д. У цій ситуації при підрахунку можливих груп з 20 осіб по 7 необхідно складати розміщення.

Відзначимо, що числа перестановок, розміщень і сполучень пов'язані рівністю

При вирішенні завдань комбінаторики використовують такі правила:

Правило суми. Якщо деякий об'єкт А може бути обраний із сукупності об'єктів m способами, а інший об'єкт В може бути обраний n способами, то вибрати або А. або В можна m + n способами.

Правило твори. Якщо об'єкт А можна вибрати з сукупності об'єктів m способами і після кожного такого вибору об'єкт В можна вибрати n способами, то пара об'єктів (А, В) в зазначеному порядку може бути обрана способами.

Питання для самоперевірки

1. Що називають перестановками?

2. За якою формулою обчислюють число перестановок з n різних елементів?

3. Що називають розміщеннями?

4. За якою формулою обчислюють число розміщень з n різних елементів по m елементів?

5. Що називають поєднаннями?

6. За якою формулою обчислюють число поєднань з n елементів по m елементів?

7. Яким рівністю пов'язані числа перестановок, розміщень і сполучень?

8. У чому відмінність між поєднанням з трьох елементів по два і розміщенням з трьох елементів по два?

9. Чи розрізняються поняття перестановки з трьох елементів і розміщення з елементів по три?