Ортогональное розкладання векторів

Визначення. Кажуть, що вектор ортогоналенк подпро-мандрівний. якщо вектор ортогональний будь-якому вектору з цього підпростору.

Визначення. Ортогональним доповненням до подпространству з евклідового простору називається безліч всіх віків-торів з. ортогональних подпространству. Позначається.

Визначення. Нехай вектор представлений у вигляді. де. а. тоді вектор називається ортогональної проекцією вектора на підпростір. вектор називається ортогональної складової вектора щодо підпростору,

число називається відстанню від вектора до підпростору

. а кут між векторами і називається кутом між вектором і подпространством.

Затвердження. Ортогональное доповнення до подпространству з евклідового простору саме є подпространством евклідового простору.

Затвердження. Сума підпросторів + є прямою сумою.

Затвердження. Якщо - деякий підпростір евклідового простору. то справедлива рівність + =.

1. Знайти ортогональну проекцію вектора на підпростір. породжене векторами

Рішення. Спочатку визначимо базис даного підпростору. Перевіримо, чи є лінійно незалежними вектори. Умова лінійної незалежності (залежності) даних векторів являє собою систему рівнянь щодо коефіцієнтів. Знайдемо рішення цієї системи за допомогою елементарних перетворень її матриці:

Як видно, ранг системи дорівнює 3, визначник системи відмінний від нуля. Отже, однорідна система трьох рівнянь для трьох невідомих має лише тривіальне рішення:.

Таким чином вектори лінійно незалежні і складають

базис заданого підпростору. За визначенням вектор. представляє ортогональную проекцію на підпростір. належить і ортогонален. Ці умови призводять у результаті до системи рівнянь для координат вектора в базисі підпростору.

де - елементи матриці Грама.

Відповідно до формули Крамера рішення цієї системи має вигляд

де - визначник матриці Грама системи базисних векторів, а - визначник, отриманий з визначника Грама заміною -го стовпця на стовпець з вільних членів виписаної системи рівнянь.

У розглянутій задачі елементи матриці Грама рівні

Елементи стовпчика вільних членів:.

З огляду на це, для визначників маємо

Таким чином, для ортогональної прекціі вектора на подпро-странство отримаємо

3.76. Знайти розмірність і базис ортогонального доповнення до лінійної оболонці векторів:

3.77. Знайти розмірність і базис ортогонального доповнення до подпространству, заданому системою

3.78. Знайти ортогональну проекцію і ортогональную складову вектора щодо підпростору, породженого векторами. якщо

3.79. Знайти ортогональну проекцію і ортогональную складову вектора щодо підпростору, заданого системою

3.80. Знайти ортогональну проекцію і ортогональную складову вектора щодо ортогонального доповнення до лінійної оболонці векторів. .

3.81. Знайти відстань від вектора до підпростору L і кут між ними, якщо задано системою

3.82. Знайти відстань від вектора до лінійної оболонки векторів. і кут між і.

3.83. Знайти кут між вектором і подпространством, породженим векторами. якщо

3.84. Підставою -мірного паралелепіпеда, побудованого на векторах. служить -мірний паралелепіпед, побудований на векторах. Знайти обсяг мірного паралелепіпеда і довжину перпендикуляра, опущеного на підставу, якщо. . . .

3.85. Знайти кут між діагоналлю n мірного куба (см.задачу 3.67) і його k -мірною гранню.