Обсяг фігури, утвореної в результаті обертання навколо осі

Обсяг фігури, утвореної в результаті обертання навколо осі Ox криволінійної трапеції, обмеженою безперервної кривої y = f (x) (a ≤ x ≤ b), Віссю Ox і прямими x = a і x = b, обчислюється за формулою:

Аналогічно, обсяг фігури, утвореної в результаті обертання навколо осі Oy криволінійної трапеції, обмеженою безперервної кривої y = # 966; (x) (c ≤ x ≤ d), Віссю Ox і прямими y = c і y = d, знаходиться за формулою:

Приклад №1. Обчислити обсяги фігур, утворених обертанням площ, обмежених зазначеними лініями.
y 2 = 4x; y = 0; x = 4.

Межі інтегрування a = 0, b = 4.

Приклад №2. y 2 = 4x; y = x

Виконаємо побудову фігури. Вирішимо систему:
y 2 = 4x
y = x
знайдемо точки перетину параболи і прямої: O (0; 0), A (4; 4).
Отже, межі інтегрування a = 0; b = 4. Бажаємий обсяг являє собою різницю обсягу V1 параболоїда, утвореного обертанням кривої y 2 = 4x. і про обсягу V2 конуса, утвореного обертанням прямої y = x:

Приклад №3. Обчислити обсяг тіла, отриманого обертанням навколо осі Оx фігури, обмеженою прямий y = x і параболою.
Знайдемо точки перетину ліній. Для цього вирішимо рівняння. Отримаємо x1 = 0, x2 = 1.

Мал. 2. Обсяг тіла обертання.
Обсяг тіла може бути обчислений за формулою, де
, f2 (x) = x.
.
Відповідь:.