Обчислення обсягу тіла, утвореного обертанням - студопедія

плоскої фігури навколо осі

Дана плоска фігура, обмежена лініями. . .

1) Знайти площу плоскої фігури, обмеженої даними лініями.

2) Знайти об'єм тіла, отриманого обертанням плоскої фігури, обмеженої даними лініями, навколо осі.

Увага! Навіть якщо ви хочете ознайомитися тільки з другим пунктом, спочатку обов'язково прочитайте перший!

Рішення. Завдання складається з двох частин. Почнемо з площі.

1) Виконаємо креслення:

Легко помітити, що функція задає верхню гілку параболи, а функція - нижню гілку параболи. Перед нами тривіальна парабола, яка «лежить на боці».

Потрібна фігура, площа якої належить знайти, заштрихована синім кольором.

Як знайти площу фігури? Її можна знайти «звичайним» способом. Причому, площа фігури знаходиться як сума площ:

Є більш раціональний шлях вирішення: він складається в переході до зворотних функцій та інтегруванню по осі.

Як перейти до зворотних функцій? Грубо кажучи, потрібно висловити «ікс» через «ігрек». Спочатку розберемося з параболою:

Цього достатньо, але переконаємося, що таку ж функцію можна вивести з нижньої гілки:

Для самоперевірки рекомендую усно або на чернетці підставити координати 2-3-х точок параболи в рівняння. вони обов'язково повинні задовольняти даним рівнянням.

З прямої все простіше:

Тепер дивимося на вісь. будь ласка, періодично нахиляйте голову вправо на 90 градусів по ходу пояснень (це не прикол!). Потрібна нам фігура лежить на відрізку. який позначений червоним пунктиром. При цьому на відрізку пряма розташована вище параболи. а значить, площа фігури слід знайти по вже знайомій вам формулою:. Що змінилося у формулі? Тільки буква, і не більше того.

На відрізку. тому:

Зверніть увагу, як я здійснив інтегрування, це найраціональніший спосіб, і в наступному пункті завдання буде зрозуміло - чому.

Для Новомосковсктелей, хто сумнівається в коректності інтегрування, знайду похідні:

Отримано вихідна подинтегральная функція, значить інтегрування виконано правильно.

2) Обчислимо обсяг тіла, утвореного обертанням даної фігури, навколо осі.

Перемалюю креслення трохи в іншому оформленні:

Отже, фігура, заштрихованная синім кольором, обертається навколо осі. В результаті виходить «зависла метелик», яка крутиться навколо своєї осі.

Для знаходження об'єму тіла обертання будемо інтегрувати по осі. Спочатку потрібно перейти до зворотних функцій. Це вже зроблено і детально розписано в попередньому пункті.

Тепер знову схиляємо голову вправо і вивчаємо нашу фігуру. Очевидно, що об'єм тіла обертання, слід знайти як різниця обсягів.

Обертаємо фігуру, обведену червоним кольором, навколо осі. в результаті виходить усічений конус. Позначимо цей обсяг через.

Обертаємо фігуру, обведену зеленим кольором, навколо осі і позначаємо через обсяг отриманого тіла обертання.

Обсяг нашої метелики дорівнює різниці обсягів.

Використовуємо формулу для знаходження об'єму тіла обертання:

У чому відмінність від формули попереднього параграфа? Тільки в букві.

А ось і перевага інтегрування, про який я недавно говорив, набагато легше знайти. ніж попередньо зводити підінтегральної функції в 4-у ступінь.

Зауважте, що якщо цю ж плоску фігуру обертати навколо осі. то вийде зовсім інше тіло обертання, іншого, природно, обсягу.

Обчислити обсяг тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженої кривими і.

Рішення. Виконаємо креслення:

Попутно знайомимося з графіками деяких інших функцій. Така ось цікавинка графік парної функції ....

Для мети перебування обсягу тіла обертання досить використовувати праву половину фігури, яку я заштрихував синім кольором. Обидві функції є парними, їх графіки симетричні щодо осі. симетрична і наша фігура. Таким чином, заштрихованная права частина, обертаючись навколо осі. неодмінно співпаде з лівої нештріхованной частиною.

Перейдемо до зворотних функцій, тобто, висловимо «ікси» через «ігреки»:

Зверніть увагу, що правою гілці параболи відповідає зворотна функція. Лівою невикористаної гілці параболи відповідає зворотна функція. У таких випадках нерідко виникають сумніви, яку ж функцію вибрати? Сумніви легко, розвіюються, візьміть будь-яку точку правої гілки і підставте її координати в функцію. Координати підійшли, значить, функція задає саме праву гілку, а не ліву.

До слова, та ж історія і з функцій. Чайнику, не завжди буває відразу зрозуміло, яку зворотну функцію вибрати: або. Насправді я і сам завжди страхуюся, підставляючи в знайдену зворотну функцію пару точок графіка.

Тепер схиляємо голову вправо і помічаємо таку річ:

- на відрізку над віссю розташований графік функції;

- на відрізку над віссю розташований графік функції;

Логічно припустити, що обсяг тіла обертання потрібно шукати вже як суму обсягів тіл обертань!

В даному випадку: