Необхідна і достатня умова перпендикулярності двох векторів - студопедія

Нагадаємо визначення перпендикулярних векторів на площині і в тривимірному просторі.

Два ненульових вектора називаються перпендикулярними. якщо кут між ними дорівнює дев'яноста градусам (радіан).

Для перпендикулярності двох ненульових векторів і необхідно і достатньо, щоб їх скалярний твір дорівнювало нулю, тобто, щоб виконувалося рівність.

Нехай вектори і перпендикулярні. Доведемо виконання рівності.

За визначенням скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними. Так як вектори і перпендикулярні, то кут між ними дорівнює дев'яноста градусів, отже,. що й потрібно було довести.

Переходимо до другої частини докази.

Тепер вважаємо, що. Доведемо, що вектори і перпендикулярні.

Так як вектори і ненульові, то з рівності випливає, що. Таким чином, косинус кута між векторами і дорівнює нулю, отже, кут дорівнює. що вказує на перпендикулярність векторів і.

Отже, необхідна і достатня умова перпендикулярності двох векторів повністю доведено.

Як же виглядає умова перпендикулярності двох векторів в координатної формі?

У розділі скалярний твір в координатах ми показали, що для двох векторів з заданими координатами і на площині справедливо рівність. а для двох векторів і в просторі. Таким чином, необхідна і достатня умова перпендикулярності двох векторів в координатах має вигляд на площині, а в тривимірному просторі.

Розглянемо застосування отриманих умов на практиці, для цього розберемо рішення кількох прикладів.

Перпендикулярні вектори.

Обчислимо їх скалярний добуток за координатами. Отже, умова перпендикулярності двох векторів на площині виконано, тобто, вони перпендикулярні.

да, вектори перпендикулярні.

Перпендикулярні вектори і. де - координатні вектори прямокутної системи координат в тривимірному просторі.

Вектори і мають відповідно координати і (при необхідності дивіться статтю координати вектора в прямокутній системі координат). Перевіримо виконання необхідного і достатнього умови перпендикулярності двох векторів:

Так як . то вектори і не перпендикулярні.

ні, не перпендикулярні.

Знайдіть значення. при якому вектори і перпендикулярні.

Скористаємося умовою перпендикулярності двох векторів в просторі в координатної формі

вектори перпендикулярні при.

У деяких випадках можливе відповісти на питання про перпендикулярність двох векторів без використання необхідного і достатнього умови перпендикулярності. Наприклад, коли відомі довжини всіх сторін трикутника, побудованого на двох векторах, то можна знайти кут між векторами і подивитися, чи рівний він дев'яноста градусів.

Сторони АВ, АС і ВС трикутника АВС дорівнюють відповідно 8, 6 і 10 см. Переконайтеся, що вектори і перпендикулярні.

Якщо вектори і перпендикулярні, то трикутник АВС - прямокутний і його гіпотенузою є сторона ВС. Тоді по теоремі Піфагора має виконуватися рівність. Перевіримо його справедливість:.

Отже, АВ і АС - катети прямокутного трикутника АВС. тому, вектори і перпендикулярні.