Метод невизначених множників Лагранжа - студопедія

Метод застосовується в тих випадках, коли на оптимізується процес накладається декілька () обмежень у вигляді

де число параметрів, що входять у функції обмежень - числа параметрів, що входять в функцію оптимізації (5.2). У методі Лагранжа формується Функція Лагранжа

де - невизначені множники Лагранжа (невідомі числа); -цільова функція.

Не вдаючись в теоретичні основи методу, відзначимо, що якщо цільова функція при деяких оптимальних значеннях параметрів Х прагне до екстремуми, то очевидно, що додавання до цільової функції нульових по (5.15) функцій обмеження не змінить значення критерію оптимальності і рівною йому функції Лагранжа в екстремальній точці. Координати екстремуму знаходять з умови рівності нулю перших похідних функції Лагранжа за параметрами процесу і невизначеним множників:

Як приклад використання методу невизначених множників Лагранжа розглянемо розрахунок оптимальних розмірів шару каталізатора в реакторі термокаталитической очищення газів, що відходять від домішок вуглеводнів [19].

Очищення гарячих газів, що відходять від домішок вуглеводнів виконується в реакторі з насипним шаром каталізатора, що забезпечує окислення вуглеводнів до діоксиду вуглецю і води:

,

де n і m - відповідно число атомів вуглецю (С) і водню (Н) у вуглеводні.

Розміри шару каталізатора (висота шару Н і діаметр шару) в контактному вузлі реактора залежать від необхідного ступеня очищення газу від домішок х0 і заданої витрати газу, що очищається і обмежуються допустимою величиною перепаду тиску газу в реакторі, оскільки, як правило, відпрацьований газ, що надходить на очистку і потім скидається в атмосферу, має незначне надлишковий тиск.

Розміри шару каталізатора будемо визначати виходячи з мінімізації критерію оптимальності як суми капітальних (ЗК) і експлуатаційних (ЗЕ) витрат на здійснення термокаталитической очищення в контактному вузлі на основі відомих кінетичних даних по реалізації процесу при заданій температурі окислення. тоді цільова функція має вигляд

ЗК + ЗЕ =. (5.13)

Капітальні витрати ЗК враховуються в формі амортизаційних відрахувань через приведені капітальні витрати на виготовлення контактного вузла і завантажений каталізатор:

де СК - сумарні приведені капітальні витрати на виготовлення контактного вузла і вартість завантаженого в нього каталізатора, віднесені до одному погонному метру периметра каталізаторного шару діаметром. руб. / м;

- плановий термін служби контактного вузла, роки (термін служби каталізатора з урахуванням його регенерації прирівняний до терміну служби металоконструкцій контактного вузла).

Експлуатаційні витрати ЗЕ визначаються вартістю компенсації втрат напору в шарі каталізатора:

де сп - умовна вартість перекачування 1 м 3 неочищеного газу при перепаді тиску 1 н / м 2. руб ./ (м * н);

- усереднений річний планований витрата неочищеного газу, м 3 / рік;

Н - товщина шару каталізатора, м;

- швидкість потоку газу, що очищається в розрахунку на нормальне перетин каталізаторного вузла, м / с;

- перепад тиску в шарі каталізатора висотою 1 м при швидкості потоку 1 м / с, н * с / м 4.

Допускаючи відносно низьку швидкість газу в шарі каталізатора, величину знаходимо за першим доданку рівняння Ергун:

де - порозность шару каталізатора;

- динамічна в'язкість газу при температурі процесу, Па * с.

З урахуванням рівнянь (5.14) - (5.15) цільова функція набуде вигляду

На процес термокаталитической очищення газів необхідно відповідно до постановкою завдання накласти як мінімум два обмеження:

- реактор повинен забезпечувати очищення заданої витрати газу (зручніше в даному випадку розглядати не річна витрата газу. А секундний витрата газу);

- в реакторі повинна досягатися задана ступінь очищення газу х0.

Функції обмеження, які включають параметри обмеження і параметри оптимізації розмірів шару і Н. мають в загальному випадку вид

і включають обидва параметри оптимізації або один з них.

Функцію обмеження можна розробити на основі математичної моделі, яка описує катализаторную (контактний) вузол реактора, якщо розглянути спрощено реакцію окислення вуглеводнів при надлишку кисню як. де А - окислюються домішки, В - продукти реакції, К - константа швидкості реакції. Порядок реакції можна прийняти як перший.

Гідродинаміку контактного вузла можна прийняти еквівалентної моделі ідеального витіснення, оскільки при малому часу контакту (менше секунди) дифузійними явищам при перенесенні реакційної суміші через шар каталізатора можна знехтувати.

Математична модель контактного вузла реактора по окислюється вуглеводнів для стаціонарних умов процесу матиме вигляд

де С - концентрація вуглеводнів в реакційній зоні.

Після інтегрування рівняння (5.20)

де С0 - початкова концентрація вуглеводнів в очищаемом газі;

СК - кінцева концентрація вуглеводнів після очищення,

тоді перша функція обмеження може бути записана у формі

що забезпечує досягнення заданого ступеня очищення газу х0.

Друга функція обмеження формується як

забезпечуючи задану продуктивність реактора

Сформуємо функцію Лагранжа:

=

= + + [] +

де і невизначені множники Лагранжа

Рішення завдання шукаємо пошуком екстремуму (3.28) по всім змінним:

Система нелінійних рівнянь (5.27) може бути вирішена на ЕОМ методом ітерацій з визначенням оптимальних значень діаметра і висоти шару каталізатора Н в реакторі, інші розміри апарату визначаються конструктивно.