логарифмічні диференціювання

При обчисленні похідної від логарифма твори, приватного, ступеня або кореня, для спрощення знаходження похідної проводять попереднє перетворення (див. Приклад 10 (і)).

У ряді випадків для знаходження похідної доцільно задану функцію спочатку прологаріфміровать (за замовчуванням мається на увазі натуральний логарифм). Потім знайти похідну від цього логарифма і по ній відшукати похідну від заданої функції. Такий прийом називається логарифмічним дифференцированием.

Метод логарифмічного диференціювання дозволяє легко знайти похідну показово-статечної функції виду

,

де

і - диференціюються аргументу .

Знайти похідну функції

.

Прологаріфміруем обидві частини функції і перетворимо вираз:

.

Тепер диференціюючи рівняння, як неявно задану функцію:

;

;

;

;

Так як

, то остаточно отримуємо:

.

Похідні вищих порядків

Похідною 2-го порядку від функції

називається похідна від її першої похідної, тобто

.

Аналогічно, похідною 3-го порядку від функції

називається похідна від її другої похідної, тобто

.

Таким чином, похідною

-го порядку від функції називається похідна від похідної -го порядку, тобто

.

Отже, для знаходження похідної

-го порядку необхідно послідовно знайти похідну першого, потім другого, потім третього і т.д. до-го порядку.

Знайти третю похідну

функції .

;

;

.

2.3. диференціал функції

З визначення похідною і властивостей меж слід, що якщо

де

- нескінченно мала величина ().

висловлюємо

і отримуємо, що :. Так як, то в подальшому її можна не враховувати і ми отримаємо:

Головна частина приросту функції, лінійна відносно приросту незалежної змінної

. називається діфференціаломфункцііі позначаєтьсяабо:

.

Т. к. Диференціал

, то диференціал функції дорівнює добутку похідної функції на диференціал аргументу:

.

Таким чином, для знаходження диференціала функції, необхідно знайти похідну

і помножити її на диференціал незалежної змінної .

Знайти диференціал функції

.

.

2.4. Застосування диференціального числення функції однієї змінної

2.4.1. Застосування похідної при обчисленні меж.

правило Лопіталя

При обчисленні границі функції підстановка граничного значення аргументу часто призводить до невизначеностей вигляду

,, від яких неможливо позбутися за допомогою раніше вивчених прийомів. Теорема, відома під названіемправіло Лопиталя. є одним з основних інструментів для розкриття таких невизначеностей.

Правило Лопіталя: Нехай в деякому околі точки

функціїідіфференцируєми і. якщоіодночасно є нескінченно малими або нескінченно великими функціями при , то

,

за умови, що межа відносини похідних існує.

Ця теорема справедлива також і для односторонніх меж, і в разі, коли

.

У деяких випадках розкриття невизначеностей виду

може зажадати неодноразового застосування правила Лопіталя.

невизначеності

,,,,, зводяться до невизначеностей вигляду шляхом алгебраїчних перетворень.

Обчислити за допомогою правила Лопіталя межі:

.

.

Позначимо шуканий межа через

і прологарифмируем вираз:

;

.

Так як

, то шуканий межа.