Квадрати азіатського походження, квадрати європейського походження, диявольський магічний

Це перший магічний квадрат, що відноситься до різновиду так званих диявольських квадратів.

Магічний квадрат Ян Хуея (Китай)

У 13 ст. математик Ян Хуей зайнявся проблемою методів побудови магічних квадратів. Його дослідження були потім продовжені іншими китайськими математиками. Ян Хуей розглядав магічні квадрати не тільки третього, але і високих порядків. Деякі з його квадратів були досить складні, проте він завжди давав правила для їх побудови. Він зумів побудувати магічний квадрат шостого порядку, причому останній виявився майже асоціативним (в ньому тільки дві пари центрально протилежних чисел не дають суму 37) [2]

Квадрати європейського походження

Квадрат Альбрехта Дюрера

Фрагмент гравюри Дюрера «Меланхолія»

Магічний квадрат 4Ч4, зображений на гравюрі Альбрехта Дюрера «Меланхолія I», вважається найбільш раннім в європейському мистецтві. Два середніх числа в нижньому ряду вказують дату створення картини (1514).

Сума чисел на будь-який горизонталі, вертикалі і діагоналі дорівнює 34. Ця сума також зустрічається у всіх кутових квадратах 2Ч2, в центральному квадраті (10 + 11 + 6 + 7), в квадраті з кутових клітин (16 + 13 + 4 + 1), в квадратах, побудованих «ходом коня» (2 + 8 + 9 + 15 і 3 + 5 + 12 + 14), в прямокутниках, утворених парами середніх клітин на протилежних сторонах (3 + 2 + 15 + 14 і 5 + 8 + 9 +12). Більшість додаткових симетрій пов'язано з тим, що сума будь-яких двох центрально симетрично розташованих чисел дорівнює 17.

Квадрати Генрі Е. Дьюдени і Аллана У. Джонсона-мл.

Якщо в квадратну матрицю n Ч n заноситься не строго натуральний ряд чисел, то даний магічний квадрат - нетрадиційний. Нижче представлені два таких магічних квадрата, заповнені в основному простим числами. Перший має порядок n = 3 (квадрат Дьюдени); другий (розміром 4x4) - квадрат Джонсона. Обидва вони були розроблені на початку двадцятого століття

Є ще кілька подібних прикладів:

Останній квадрат примітний тим, що він складений з 143 послідовних простих чисел за винятком двох моментів: залучена одиниця, яка не є простим числом, і не використано єдине парне просте число 2.

Диявольський магічний квадрат

Диявольський магічний квадрат - магічний квадрат, в якому також з магічною константою збігаються суми чисел по ламаним діагоналях (діагоналі, які утворюються при згортанні квадрата в тор) в обох напрямках.

Такі квадрати називаються ще пандіагональнимі.Существует 48 диявольських магічних квадратів 4Ч4 з точністю до поворотів і відображень. Якщо взяти до уваги ще й їх додаткову симетрію - торичні паралельні переноси, то залишиться тільки 3 істотно різних квадрата:

Однак було доведено, що з останнього третього варіанту найпростішими перестановками чисел виходять перші два квадрата. Тобто третій варіант - це базовий диявольський квадрат, з якого різними перетвореннями можна побудувати всі інші.

Пандіагональних квадрати існують для непарного порядку n> 3, для будь-якого порядку подвійний парності n = 4k (k = 1,2,3 ...) і не існують для порядку одинарної парності n = 4k + 2 ().

Пандіагональних квадрати четвертого порядку мають ряд додаткових властивостей, за які їх називають досконалими. Скоєних квадратів непарного порядку не існує. Серед пандіагональних квадратів подвійний парності вище 4 є досконалі. [2]

Пандіагональних квадратів п'ятого порядку 3600. З урахуванням торических паралельних переносів є 144 різних пандіагональних квадратів. Один з них показаний нижче.

Розламані діагоналі пандіагональних квадрата

Якщо пандіагональних квадрат ще й асоціативний, то він носить назву ідеальний. Приклад ідеального магічного квадрата:

Витоки виникнення магічних квадратом губляться в темряві століть. Історія магічних квадратів нерозривно пов'язана з розвитком науки. Однак якщо в давні часи інтерес до квадратах був більше езотеричний, то в нинішній час суто практичний. Використання алгоритмів заповнення магічних квадратів дозволить вирішити деякі проблеми криптографії. Також з'ясовано існування лише приватних алгоритмів заповнення магічних квадратів. Загального алгоритму, що підходить під всі види магічних квадратів не існує.