Кути з відповідними сторонами

Зазвичай розглядають кути або з відповідними паралельними сторонами, або з відповідно перпендикулярними сторонами. Розглянемо спочатку перший випадок.

Нехай дано два кута ABC і DEF. Їх боку відповідно рівнобіжні: AB || DE і BC || EF. Такі два кута будуть або рівні, або їх сума буде дорівнювати 180 °. На малюнку нижче в першому випадку ∠ABC = ∠DEF, а в другому ∠ABC + ∠DEF = 180 °.

Доказ, що це дійсно так, зводиться до наступного.

Розглянемо, кути з відповідно паралельними сторонами, розташовані як на першому малюнку. При цьому продовжимо прямі AB і EF до перетину. Позначимо точку перетину буквою G. Крім того для наочності подальшого докази на малюнку продовжена сторона BC.

Так як прямі BC і EF паралельні, то якщо пряма AB перетинає одну з них, то вона обов'язково перетне і іншу. Тобто пряма AB є січною для двох паралельних прямих. Як відомо, в такому випадку навхрест лежачі кути при січної рівні, односторонні складають в сумі 180 °, відповідні рівні.

Тобто, яку б пару кутів ми не взяли при вершинах B і G (один кут від однієї, інший від другої), ми завжди отримаємо або рівні кути, або дають в сумі 180 °.

Однак прямі AB і DE теж паралельні. Для них вже пряма EF - це січна. Значить, будь-які пари кутів з вершин G і E будуть в сумі складати або 180 °, або дорівнювати один одному. Звідси випливає, що і пари кутів з вершин B і E будуть підкорятися цьому правилу.

Наприклад, розглянемо кути ∠ABC і ∠DEF. Кут ABC дорівнює куту BGE, так як ці кути відповідні при паралельних прямих BC і EF. У свою чергу кут BGE дорівнює куту DEF, так як ці кути відповідно при паралельних AB і DE. Таким чином доведено, ∠ABC і ∠DEF.

Тепер розглянемо кути ∠ABC і ∠DEG. Кут ABC дорівнює куту BGE. Але ∠BGE і ∠DEG - це односторонні кути при паралельних прямих (AB || DE), пересічених січною (EF). Як відомо, такі кути в сумі складають 180 °. Якщо ми подивимося на другий випадок на першому малюнку, то зрозуміємо, що він відповідає парі кутів ABC і DEG на другому малюнку.

Таким чином, два різних кута, у яких боку відповідно рівнобіжні, або дорівнюють один одному, або складають в сумі 180 °. Теорема доведена.

Слід зазначити особливий випадок - коли кути розгорнуті. В такому випадку вони будуть очевидно рівні один одному.

Тепер розглянемо кути з відповідно перпендикулярними сторонами. Цей випадок виглядає складніше, так як взаємне розташування кутів різноманітніше. На малюнку нижче три приклади того, як можуть розташовуватися кути з відповідно перпендикулярними сторонами. Однак в будь-якому випадку одна сторона першого кута (або її продовження) перпендикулярна одній стороні другого кута, а друга сторона першого кута перпендикулярна другій стороні другого кута.

Розглянемо один з випадків. При цьому проведемо в одному куті бісектрису і через довільну її точку проведемо перпендикуляри до сторін її кута.

Тут дані кути ABC і DEF з відповідно перпендикулярними сторонами: AB ⊥ DE і BC ⊥ EF. На бісектрисі кута ABC взята точка G, через яку проведено перпендикуляри до цього ж кутку: GH ⊥ AB і GI ⊥ BC.

Розглянемо трикутники BGH і BGI. Вони прямокутні, так як в них кути H і I прямі. У них кути при вершині B рівні, так як BG - бісектриса кута ABC. Також у розглянутих трикутників сторона BG загальна і є гіпотенузою для кожного з них. Як відомо, прямокутні трикутники рівні один одному, якщо рівні їх гіпотенузи і один з гострих кутів. Таким чином, ΔBGH = ΔBGI.

Оскільки ΔBGH = ΔBGI, то ∠BGH = ∠BGI. Тому кут HGI можна уявити не як суму цих двох кутів, а як один з них помножений на 2: ∠HGI = ∠BGH * 2.

Кут ABC можна уявити як суму двох кутів: ∠ABC = ∠GBH + ∠GBI. Оскільки складові кути дорівнюють один одному (т. К. Утворюються биссектрисой), то кут ABC можна представити як добуток одного з них і числа 2: ∠ABC = ∠GBH * 2.

Кути BGH і GBH - це гострі кути прямокутного трикутника, а значить в сумі складають 90 °. Подивимося на рівності, які виходять:

∠BGH + ∠GBH = 90 °
∠HGI = ∠BGH * 2
∠ABC = ∠GBH * 2

Складемо два останніх:

∠HGI + ∠ABC = ∠BGH * 2 + ∠GBH * 2

Винесемо загальний множник за дужку:

∠HGI + ∠ABC = 2 (∠BGH + ∠GBH)

Так як сума кутів в дужках дорівнює 90 °, то виходить, що кути HGI і ABC в сумі складають 180 °:

∠ABC + ∠HGI = 2 * 90 ° = 180 °

Отже, ми довели, що сума кутів HGI і ABC становить 180 °. А тепер знову подивимося на малюнок і повернемо свій погляд на кут, з яким у кута ABC відповідно перпендикулярні сторони. Це кут DEF.

Прямі GI і EF паралельні один одному, так як обидві вони перпендикулярні одній і тій же прямій BC. А як відомо, прямі, які перпендикулярні одній і тій же прямій, паралельні один одному. З цієї ж самої причини DE || GH.

Як раніше вже було доведено, кути з відповідно паралельними сторонами або в сумі складають 180 °, або дорівнюють один одному. Значить, або ∠DEF = ∠HGI, або ∠DEF + ∠HGI = 180 °.

Однак ∠ABC + ∠HGI = 180 °. Звідси робиться висновок, що і у випадку з відповідно перпендикулярними сторонами кути або рівні, або складають в сумі 180 °.

Хоча в даному випадку ми обмежилися доказом тільки суми. Але якщо подумки продовжити сторону EF в зворотному напрямку, то побачимо кут, який дорівнює куту ABC, і при цьому його боку також перпендикулярні кутку ABC. Довести рівність таких кутів можна, розглядаючи кути з відповідно паралельними сторонами: ∠DEF і ∠HGI.