Кути, пов’язані з колом

Кут, утворений двома хордами, проведеними з однієї точки, називається вписаним.

ТЕОРЕМА Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається.

всі вписані кути, що спираються на одну й ту ж дугу, рівні;

вписаний кут, що спирається на діаметр, прямий.

ТЕОРЕМА Кут, вершина якого лежить всередині кола, вимірюється напівсумою двох дуг, укладених між його сторонами

ТЕОРЕМА Кут, вершина якого лежить поза колом, а сторони перетинаються з колом, вимірюється Полуразность двох дуг, укладених між його сторонами.

ТЕОРЕМА Кут, складений дотичній і хордою, вимірюється половиною дуги, укладеної всередині кута.

Завдання з рішенням

1. Знайдіть величину кута АВС. Відповідь дайте у градусах.

Побудуємо квадрат зі стороною АС.

Тоді видно, що кут АВС спирається на окружності, тобто на дугу 90º. Вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку він спирається, значить

2. Хорда АВ ділить окружність на дві частини, градусні величини яких відносяться як 6:12. Під яким кутом видно ця хорда з точки С, що належить меншою дузі кола? Відповідь дайте у градусах.

З точки C хорда АВ видно під кутом АCВ. Нехай велика частина окружності дорівнює 12х, тоді менша дорівнює 6х. Вся окружність становить 360º.

Отримуємо рівняння 12х + 6х = 360º.Откуда х = 20º.

Кут АСВ спирається на велику дугу окружності, яка дорівнює 12 · 20º = 240º.

Вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку він спирається, значить, що спирається на велику дугу кут АCВ дорівнює

3. Хорда АВ стягує дугу кола в 84º. Знайдіть кут АВС між цією хордою і дотичною до кола, проведеної через точку В. Відповідь дайте у градусах.

Кут АВС - це кут між дотичній і хордою. Він вимірюється половиною дуги, укладеної всередині кута. Дуга всередині кута дорівнює 84º.Значіт

4. До кола радіуса 36 проведена дотична з точки, віддаленої від центру на відстань, рівну 85. Знайдіть довжину дотичної.

Нехай ОА = 36, ОС = 85.Радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний дотичній. З прямокутного трикутника АОС по теоремі Піфагора отримуємо

5. До кола з точки С поза нею проведені дотична АС і січна СD, яка перетинає коло в точці В. Сума довжин дотичній і січною дорівнює 30см. а внутрішній відрізок січної на 2см коротше дотичній. Знайти довжини дотичній і січною.

Нехай АС = х, а СD = у. Тоді х + у = 30, а DB = AC -2 = x -2. BC = AC-DB = y-DB = y- (x -2) = y-x +2. По теоремі, якщо з точки поза колом проведено до нього дотична і січна, то квадрат дотичній дорівнює добутку січної на її зовнішню частину, тобто. тоді

х = 80 не підходить так як у> 0 Тому отримуємо

Дотична АС = 12, січна CD = 18.

6. Знайти площу S закрашеного сектора. У відповіді вкажіть S / π.

Побудуємо на даному кресленні квадрат

Тоді стає очевидно, що сектор становить одну чверть кола.

Радіус дорівнює половині діагоналі квадрата, сторона якого дорівнює 4.

Тоді площа сектора обчислимо за формулою

Тоді шукана величина дорівнює

Чому дорівнює вписаний кут, що спирається на діаметр кола? Відповідь дайте у градусах.

Знайдіть хорду, на яку спирається кут 90º, вписаний в коло радіуса 1.

Чому дорівнює гострий вписаний кут, що спирається на хорду, рівну радіусу кола? Відповідь дайте у градусах.

Знайдіть хорду, на яку спирається кут 30º, вписаний в коло радіуса 3.

Чому дорівнює тупий вписаний кут, що спирається на хорду, рівну радіусу кола? Відповідь дайте у градусах.

Радіус кола дорівнює 1. Знайдіть величину гострого вписаного кута, що спирається на хорду, рівну. Відповідь дайте у градусах.

Радіус кола дорівнює 1. Знайдіть величину тупого вписаного кута, що спирається на хорду, рівну. Відповідь дайте у градусах.

Знайдіть хорду, на яку спирається кут 120º, вписаний в коло радіуса.

Центральний кут на 34º більше гострого вписаного кута, що спирається на ту ж дугу окружності. Знайдіть вписаний кут. Відповідь дайте у градусах.

Знайдіть величину кута ABC. Відповідь дайте у градусах.

Знайдіть величину кута ABC. Відповідь дайте у градусах.

Знайдіть градусну величину дуги AC окружності, на яку спирається кут ABC. Відповідь дайте у градусах.

Знайдіть градусну величину дуги BC окружності, на яку спирається кут BAC. Відповідь дайте у градусах.

Кут ACO дорівнює 25º, де O - центр кола. Його сторона CA стосується окружності. Знайдіть величину меншою дуги AB кола, укладеної всередині цього кута. Відповідь дайте у градусах.

Знайдіть кут ACO, якщо його сторона CA стосується окружності, O- центр окружності, а велика дуга AD окружності, укладена всередині цього кута, дорівнює 110º. Відповідь дайте у градусах.

Знайдіть кут ACB, якщо вписані кути ADB і DAE спираються на дуги окружності, градусні величини яких дорівнюють відповідно 116º і 36º. Відповідь дайте у градусах.

Кут ACB дорівнює 50º. Градусна величина дуги AB кола, що не містить точок D і E, дорівнює 130º. Знайдіть кут DAE. Відповідь дайте у градусах.

Хорда AB стягує дугу кола в 86º. Знайдіть кут ABC між цією хордою і дотичною до кола, проведеної через точку B. Відповідь дайте у градусах.

Кут між хордою AB і дотичній BC до кола дорівнює 28º. Знайдіть величину меншою дуги, стягують хордою AB. Відповідь дайте у градусах.

Через кінці A, B дуги окружності в 72º проведені дотичні AC і BC. Знайдіть кут ACB. Відповідь дайте у градусах.

Дотичні CA і CB до кола утворюють кут ACB, рівний 112º. Знайдіть величину меншою дуги AB, стягують точками дотику. Відповідь дайте у градусах.

Знайдіть кут ACO, якщо його сторона CA стосується окружності, O - центр кола, а дуга менша дуга окружності AB, укладена всередині цього кута, дорівнює 62º. Відповідь дайте у градусах.

1. Знайдіть площу круга, довжина кола якого дорівнює.
2. Площа круга дорівнює. Знайдіть довжину її кола.
3. Знайдіть площу сектора кола радіуса. центральний кут якого дорівнює 90º .Найдіте площа сектора кола радіуса 1, довжина дуги якого дорівнює 2.
4. Хорда ділить окружність щодо 5. 13. Знайти величини вписаних кутів, що спираються на цю хорду.
5. Хорда ділить окружність щодо 11. 7. Знайти кут між дотичними, проведеними з кінців хорди.
6. Окружність розділена щодо 5. 9. 10, і через точки поділу проведено дотичні, знайти більший кут в отриманому трикутнику.
7. На бічній стороні рівнобедреного трикутника як на діаметрі побудована півколо. Сторони трикутника ділять півколо на три дуги. Знайти кутові величини цих дуг, якщо кут при вершині трикутника дорівнює 40º.
8. Окружність розділена крапками A, B, C, D на дуги, кутові величини яких відносяться як.
   Знайти величини кутів між прямими АВ і CD, АС і BD.
9. Центральний кут на 35º більше вписаного кута, що спирається на ту ж дугу. Знайдіть кожен з цих кутів.
10. Знайдіть вписаний кут, що спирається на дугу, яка становить 10% окружності.
11. Скільки спиць в колесі, якщо кут між сусідніми спицями дорівнює 18º?
12. Який кут (в градусах) утворюють хвилинна і годинна стрілки годинника в 5 ч?
13. Який кут (в градусах) описує хвилинна стрілка за 10 хв?
14. Який кут (в градусах) описує годинникова стрілка за 20 хв?
15. На який кут (в градусах) повертається хвилинна стрілка поки годинна проходить 2º?
16. З точки поза колом проведено дві секущіе.Внутренній відрізок першої дорівнює 47, а зовнішній 9.Внутренній відрізок другої січною на 72 більше її зовнішнього відрізка. Знайти довжину другої січною.
17. Радіус кола дорівнює 5. Знайти довжину дуги сектора з кутом в 36º.
18. Довжина загальної хорди двох кіл радіуса дорівнює 2.Найті площа загальної частини цих кіл.
19. Знайти площу сегмента. якщо радіус дорівнює 6, а дуга 90º.
20. Пряма ділить окружність на дві дуги, довжини яких відносяться як 1: 3. У якому відношенні ця пряма ділить площу кола.
21. Відстань від центру кола до хорди одно і вдвічі менше радіуса. Знайти довжину хорди.
22. Радіус кола дорівнює .Знайти відстань від центру кола до хорди, якщо вона стягує кут 90º.
23. Довжина хорди дорівнює. Знайти відстань від центра кола до хорди, якщо вона стягує дугу 120º.
24. З точки поза колом проведено до неї дві дотичні. Довжина кожної дотичної дорівнює 13, а відстань між точками дотику одно 24.Найті довжину радіусу кола.