Класичне визначення ймовірності - студопедія

Під ймовірністю події розуміється деяка числова характеристика можливості настання цієї події. Існує кілька підходів до визначення ймовірності.

Ймовірністю події А називається відношення числа сприятливих цій події результатів до загального числа всіх рівно можливих несумісних елементарних фіналів, що утворюють повну групу. Отже, ймовірність події А визначається формулою

де m - число елементарних фіналів, що сприяють А. n - число всіх можливих елементарних фіналів випробування.

Приклад 3.1. Під час експерименту з киданням гральної кістки число всіх результатів n дорівнює 6 і всі вони рівноможливими. Нехай подія А означає поява парного числа. Тоді для цієї події сприятливими наслідками будуть поява чисел 2, 4, 6. Їх кількість дорівнює 3. Тому ймовірність події А дорівнює

Приклад 3.2. Яка ймовірність того, що в навмання обраному двозначному числі цифри однакові?

Двозначними числами є числа від 10 до 99, всього таких чисел 90. Однакові цифри мають 9 чисел (це числа 11, 22, ..., 99). Так як в даному випадку m = 9, n = 90, то

де А - подія, «число з однаковими цифрами».

Приклад 3.3. У партії з 10 деталей 7 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед шести взятих навмання деталей 4 стандартних.

Загальна кількість можливих елементарних фіналів випробування дорівнює числу способів, якими можна витягти 6 деталей з 10, т. Е. Числу сполучень з 10 елементів по 6 елементів. Визначимо число випадків, що сприяють цікавого для нас події А (серед шести взятих деталей 4 стандартних). Чотири стандартні деталі можна взяти з семи стандартних деталей способами; при цьому інші 6-4 = 2 деталі повинні бути нестандартними, взяти ж дві нестандартні деталі з 10-7 = 3 нестандартних деталей можна способами. Отже, число сприятливих результатів одно.

Тоді шукана ймовірність дорівнює

З визначення ймовірності випливають такі її властивості:

1. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці.

Дійсно, якщо подія достовірно, то кожен елементарний результат випробування сприяє події. В цьому випадку m = n, отже

2. Імовірність неможливого події дорівнює нулю.

Дійсно, якщо подія неможливо, то жоден з елементарних фіналів випробування не сприяє події. В цьому випадку означає

3. Імовірність випадкової події є позитивне число, укладену між нулем і одиницею.

Дійсно, випадковій події сприяє лише частина із загального числа елементарних фіналів випробування. В цьому випадку

Побудова логічно повноцінної теорії вірогідності засноване на аксіоматичному визначенні випадкової події і його ймовірності. В системі аксіом, запропонованої А. Н. Колмогоровим, невизначені поняття є елементарна подія і ймовірність. Наведемо аксіоми, що визначають вірогідність:

1. Кожному події А поставлено у відповідність невід'ємне дійсне число Р (А). Це число називається ймовірністю події А.

2. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці.

3. Імовірність настання хоча б одного з попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Виходячи з цих аксіом, властивості ймовірностей і залежності між ними виводять в якості теорем.

Питання для самоперевірки

1. Як називається числова характеристика можливості настання події?

2. Що називається ймовірністю події?

3. Чому дорівнює ймовірність достовірної події?

4. Чому дорівнює ймовірність неможливого події?

5. В яких межах укладена ймовірність випадкової події?

6. В яких межах укладена ймовірність будь-якої події?

7. Яке визначення ймовірності називається класичним?