Як знайти фундаментальну систему рішень лінійного рівняння студопедія

Візьмемо для прикладу таку систему лінійних рівнянь:

Знайдемо рішення цієї лінійної системи рівнянь методом Гаусса. Для початку нам треба виписати матрицю коефіцієнтів системи.

Перетворимо цю матрицю до трикутної. Перший рядок переписуємо без змін. І все елементи, що стоять під a11, треба зробити нулями. Що б зробити нуль в місце елемента a21, треба від другого рядка відняти першу, і різниця записати у другому рядку. Що б зробити нуль в місце елемента a31, треба від третього рядка відняти першу і різниця записати в третьому рядку. Що б зробити нуль в місце елемента a41, треба від четвертої рядки відняти першу помножену на 2 і різниця записати в четвертому рядку. Що б зробити нуль в місце елемента a31, треба від п'ятого рядка відняти першу помножену на 2 і різниця записати в п'ятому рядку.

Першу і другу рядок переписуємо без змін. І все елементи, що стоять під a22, треба зробити нулями. Що б зробити нуль в місце елемента a32, треба від третього рядка відняти другу помножену на 2 і різниця записати в третьому рядку. Що б зробити нуль в місце елемента a42, треба від четвертої рядки відняти другу помножену на 2 і різниця записати в четвертому рядку. Що б зробити нуль в місце елемента a52, треба від п'ятого рядка відняти другу помножену на 3 та різниця записати в п'ятому рядку.

Бачимо, що останні три рядки - однакові. тому якщо від четвертої і п'ятої відняти третю, то вони стануть нульовими.

З цієї матриці записуємо нову систему рівнянь.

Бачимо, що лінійно незалежних рівнянь у нас, тільки три, а невідомих п'ять, тому фундаментальна система рішень буде складатися з двох векторів. Значить, нам треба перенести дві останні невідомі вправо.

Тепер, починаємо висловлювати ті невідомі, що стоять в лівій частині через ті, що стоять у правій частині. Починаємо з останнього рівняння, спочатку висловимо x3, потім отриманий результат підставимо в друге рівняння і висловимо x2, а потім в перше рівняння і тут висловимо x1. Таким чином ми всі невідомі, що стоять в лівій частині, висловили через невідомі, що стоять в правій частині.

Після чого ви замість x4 і x5, можемо підставляти будь-які числа і знаходити x1, x2 і x3. Кожна така п'ятірка чисел буде корінням нашої початкової системи рівнянь. Що б знайти вектори, що входять вФСР нам треба замість x4 підставити 1, а замість x5 підставити 0, знайти x1, x2 і x3, а потім навпаки x4 = 0 і x5 = 1.