Як висловити показову функцію через початкову величину і темп її зміни

Розглянемо приклад. Початкова сума на банківському рахунку складає $ 1000, а кумулятивна річна процентна ставка дорівнює 3%. Запишіть показову функцію, яка описує процес накопичення на такому рахунку.

Основний вид показовою функції - f (t) = P (1 + r) t / h. де P0 - початкова величина, t - тимчасова змінна, r - процентна ставка, h - кількість часових періодів (у змінній t).

У функцію підставте значення початкової величини P і процентної ставки r. Ви отримаєте функцію виду: f (t) = 1000 (1,03) t / h.

Знайдіть h. Щороку внесок збільшується на 3%, тобто він збільшується на 3% кожні 12 місяців. Так як вам потрібно висловити t в місцях, ви повинні розділити t на 12; таким чином, t = 12. Ви отримаєте функцію виду: f (t) = 1000 (1,03) t / 12.

Метод 2 з 2:
Використання «е» в якості підстави ступеня Правити

Визначення. «Е» - це математична константа (число Ейлера), приблизно рівна 2,72. Показова функція, у якій в якості підстави виступає «е», називається експоненціальною функцією.

Розглянемо приклад. Період напіврозпаду ізотопу вуглецю становить 50 років. (Період напіврозпаду - час, протягом якого кількість радіоактивних ядер зменшується вдвічі.) Запишіть показову функцію, яка описує процес розпаду 500 г ізотопу вуглецю.

Основний вид показовою функції - f (t) = ae kt. де а - початкова величина, е - число Ейлера, k - деякий коефіцієнт пропорційності, t - тимчасова змінна.

Підставте значення початкової величини. Ви отримаєте функцію виду: f (t) = 500e kt.

Знайдіть коефіцієнт пропорційності. Він характеризує темп зміни графіка функції. Ви знаєте, що через 50 років залишиться 250 г ізотопу вуглецю. Тобто, якщо t = 50, то f (50) = 250. Підставте ці значення в функцію, запишіть показове рівняння і вирішіть його: 250 = 500e 50k. Спочатку розділіть обидві частини рівняння на 500 і ви отримаєте: 1/2 = e 50k. Тепер візьміть натуральний логарифм від обох сторін рівняння: ln (1/2) = 50k (ln (e)) (відповідно до властивостями логарифмів, показник аргументу логарифма можна винести за знак логарифма, тобто ln e 50k = 50k (ln (e)) ). Далі, згідно з властивостями логарифмів, логарифм з рівними аргументом і підставою дорівнює 1, тобто ln e = 1. Таким чином, рівняння спрощується до: ln (1/2) = 50k, і k = (ln (1/2)) / 50 ≈ -0,01386. Зверніть увагу, що це негативне значення. Якщо коефіцієнт негативний, то це функція спадає; в іншому випадку функція зростає.

Підставте значення k. Остаточний вигляд функції:

f (t) = 500e -0,01386t.

Поради Правити

Для отримання точних значень функції збережіть значення k в калькуляторі (точне значення, а не округлене). При побудові графіка не переплутайте незалежну змінну - в описаних прикладах вона позначається як «t».
Ви швидко навчитеся визначати ситуації, відповідні одній з вищеописаних функцій. Як правило, завдання легше вирішити, скориставшись першою функцією, але бувають випадки, коли необхідно використовувати експонентну функцію.