Iii рівняння дотичної і нормалі до кривої - студопедія

З курсу геометрії відомо, що в прямокутній декартовій системі координат рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. що проходить через точку має вигляд

Тому, підставивши в рівняння (1). отримаємо рівняння дотичної до кривої в точці:

Як відомо, умовою перпендикулярності прямих, що задаються рівняннями з кутовими коефіцієнтами і. є умова. Отже, рівняння нормалі до кривої в точці має вигляд:

Зауваження. Рівняння (3) задає нормаль до графіка функції в точці. якщо існує відмінна від нуля похідна.

Якщо. то дотична до кривої в такій точці буде паралельна осі. а її рівняння буде мати вигляд:. З визначення ж нормалі слід, що нормаль до кривої в такій точці буде перпендикулярна осі. а її рівняння має вигляд.

Якщо ж . то дотична до кривої в такій точці паралельна осі і її рівняння має вигляд. а нормаль паралельна осі і її рівняння має вигляд

Приклади: Знайти рівняння дотичної і нормалі до кривих:

в точці з абсцисою

в точці з абсцисою

в точці з абсцисою

1) Знайдемо значення функції в точці с. .

Далі знайдемо похідну цієї функції:. тепер знайдемо

Складемо рівняння дотичній, для цього підставимо знайдені значення в рівняння (2):

Складемо рівняння нормалі, для цього підставимо знайдені значення в рівняння (3):

2) Знайдемо значення функції в точці з абсцисою:

Знайдемо значення похідної в точці:

Так як . то за зауваженням рівняння дотичної матиме вигляд. тобто . а рівняння нормалі. тобто .

3) Знайдемо значення функції в точці з абсцисою

Тепер знайдемо значення похідної:

Підставивши знайдені значення в рівняння (2) отримаємо рівняння дотичної:

Підставивши знайдене значення в рівняння (3) отримаємо рівняння нормалі:

1) У якій точці дотична до кривої паралельна прямій.

2) У якій точці дотична до кривої перпендикулярна прямій.

3) Крива задана рівнянням. Визначити кути нахилу дотичних до позитивного напрямку осі. проведених до кривої в точках з абсциссами.

4) Знайти кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до кривої в точці.

5) Скласти рівняння дотичної і нормалі до кривих в даних точках з абсциссами:

6) Знайти координати точки, в якій дотична до параболи утворює кут в 135 про з віссю.

7) Знайти швидкість тіла, що рухається по закону.

8) Тіло рухається прямолінійно за законом. Знайти швидкість тіла в моменти. і.

9) Знайти швидкість руху тіла в момент часу. якщо закон руху заданий формулою:.

10) Коли швидкість точки, що рухається прямолінійно за законом. дорівнює нулю?

11) Який кут утворює з віссю абсцис дотична до параболи. проведена в точці. Скласти рівняння цієї дотичної.

12) Знайти кут нахилу дотичній до кубічної параболи в точках з абсциссами. і.

13) Який кут утворює з віссю абсцис дотична до кривої в точці?