Характеристика асиметрії і ексцесу 1

При зміщенні вправо від центру асиметрія буде характеризуватися позитивним числом, при зміщенні вліво - негативним.

Коефіцієнт асиметрії (А.) розраховується як відношення центрального моменту третього порядку до кубу середнього квад-

копитних відхилення: в т л. Т3.

Як бачимо, коефіцієнт асиметрії - це нормований момент третього порядку (Т3). Вважається, що криві з абсолютною величиною показника асиметрії А *> ± 0,5 характеризуються значним

зміщенням. Якщо А. ^ ± 0,25 - асиметрія незначна.

Графічно (рис.8) асиметрія описується напрямком довшою гілки кривої ( "дзвін").

Якщо ^ = 0 - розподіл симетричний, якщо А1> 0 - розподіл має

правостороннім асиметрію; якщо 1 <0 - левосторонняя асимметрия.

Криві, зображені на малюнку 8, дозволяють ілюструвати симетрію і два найбільш поширених виду асиметрії розподілу. При симетричному розподілі (а) середня арифметична, мода і медіана рівні між собою. Для асиметричних кривих ці статистичні величини неоднакові. Причому середня арифметична і медіана зміщені від центру в бік довгою гілки кривої. Оскільки середня арифметична (х) "слух" до "точного" положення більш віддалених від моди (М0) точок кривої, а медіана (е) "нечутно", то середня (х) зрушена більше, ніж медіана (м е). В цьому випадку медіана знаходиться між

Мал. 8. Форми розподілу при різних значеннях коефіцієнта асиметрії (А *)

модою і середньої арифметичної.

Як бачимо, напрямок асиметрії геометрично встановлюється дуже просто. Кількісна форма ступеня асиметрії вимагає знаходження її алгебраїчної ступеня.

Приклад. За даними дискретного статистичного ряду розподілу господарств за врожайністю зернових культур потрібно кількісно виміряти асиметрію розподілу варіант в даній вибірці. Для знаходження величини коефіцієнта асиметрії по наведеній вище формулі необхідно виконати додаткові розрахунки. Останні наведені в таблиці 38.

Вихідні та розрахункові дані для обчислення коефіцієнтів асиметрії (^) і експесу)

^ = Д * .- х) 2 - = _ 2 _ 238,9 _ = 39,3 За попередніми розрахунками маємо: 57.

° величина середнього квадратичного відхилення становить:

сг = л / в 7 ^ д / 39,3 = 6,3

Значення величини центрального моменту третього порядку ^

Х) 3 П = і 523,6 = 79,4 '

отримуємо з виразу 57.

Підставивши значення ^ 3 і ^ в формулу коефіцієнта асиметрії, маємо:

Позитивне значення показника * свідчить про правобічну асиметрію розподілу господарств за врожайністю, а абсолютне його значення 0,25 <| 0,3181 <0,5 | означает наличие умеренной асимметрии в исследуемом ряде распределения.

На завершення слід зазначити, що при переважній кількості варіант в ряді розподілу менших за розміром від вибіркової середньої коефіцієнт асиметрії буде негативним. Якщо в варіаційному ряду переважають варіанти по величині більше середньої, матиме місце позитивна асиметрія.

Негативною стороною коефіцієнта асиметрії, як заходи асиметрії, слід назвати те, що цей показник не має ні верхньої, ні нижньої межі. Надзвичайно великий розмір коефіцієнта асиметрії практично майже не має місця.

Крім розглянутого способу оцінки ступеня асиметрії, існують і інші методичні прийоми. Вони є предметом вивчення спеціального курсу.

Для встановлення ступеня відхилення від нормального розподілу обчислюють показник ексцесу (Е *). Він характеризує відхилення від нормального розподілу варіант з виступаніє або падінням вершини кривої розподілу. При виступанні вершини ексцес називають позитивним, при її падінні - негативним.

Для кількісного виміру гостровершинності використовується центральний момент четвертого порядку (^ 4). Ставлення останнього до середньоквадратичного відхилення в четвертому ступені називають коефіцієнтом гостровершинності (ексцес). Тобто

обчислюється нормований момент четвертого порядку). Якщо за базу порівняння прийняти нормальний розподіл, то ставлення

Тому коефіцієнт гостровершинності або просто "ексцес" (Ех) буде виражатися формулою:

Якщо ступінь гостровершинності нормальний, Е * = 0. Для більш гостровершінніх розподілів, ексцес буде позитивним (Е * ^ °), для більш плосковершінних - негативним (Е * ^ 0). Форми "Вершина" для зазначених випадків представлені на графіку (рис. 9).

Мал. 9. Форми розподілу для різних значень ексцесу (*).

Якщо величина показника ексцесу * '' крива вважається слабоексцесівною. Найбільша абсолютна величина негативного ексцесу становить мінус 2. При такому значенні вершина кривої опускається до осі абсцис і крива розподілу ділиться на дві самостійні одновершинні криві.

Слід зазначити, що термін "ексцес" грецького походження (кітішіз), і назви форми ексцесу в різних кривих розподілу мають корінь цього слова. Мається на увазі стрічкокуртічні, платокуртічні і мезокуртічні криві (рис. 10).

Мал. 10. Типи ексцесу: а - стрічкокуртічній, б - платокуртічній, в - мезокуртічній

Згідно з графіком, стрічкокуртічноі кривої (а) характерно розміщення більшості одиниць спостережень поблизу центру. У разі платокуртічноі кривої (форма силуету плато) варіанти значно віддалені від центру розподілу (б). Помірне розміщення навколо центру розподілу варіант визначає форма ексцесу у вигляді мезокуртічноі кривої (в).

Для кривої нормального розподілу (при х = 0 і ° = 1) значення коефіцієнта ексцесу (Е *) становить 0,263. При цьому його величина обчислюється за формулою:

де ^ 3 + ^ - відповідно третя і перша квартили;

И9 °> і10 - дев яносто і десятий перцентілі.

Таким чином, коефіцієнт ексцесу визначається відношенням половини розмаху між двома квартилями до різниці 90-го і 10-го перцентилей. (Величини, що характеризують поділ розподілу на чотири, десять і сто рівних частин, називаються відповідно квартилями, деціле і перцентілі).

Згідно з розподілом підприємств по врожайності зернових культур (табл. 38), величина коефіцієнта ексцесу становить:

Згідно величини розрахованого показника ексцесу (Е =

0,52), крива розподілу характеризується платокуртічною формі зі слабко ексцесівністю, тобто форма кривої на графіку - плосковершінних.