Глибинний зміст - математичних понять дискусійні теми (м) - сторінка 3

А можемо розглянути похідну як величину, що характеризує швидкість зростання функції.

Ну, можемо. А ще - як дотичну.

А тут ми маємо визначення -, наприклад - але не найменшого поняття, з якого такого стелі, воно взято і, головне, навіщо.

Ви плутаєте кілька речей. Перш за все, сенс і виникнення. Виникнення - це розповідь про історію предмета. Тут, як уже згадував мат-ламер. справа вийшла з кватерніонів. Кватерніони - це такі "числа", які ще на крок продовжують ланцюжок дійсне число - комплексне число. Тобто, дійсне число - комплексне число - кватерніон - октоніонов, і так далі. Кватерніон складається з чотирьох речових складових, які прийнято називати "скалярною" і "векторної частиною". Щоб порахувати твір кватернионов, треба обчислити декілька проміжних результатів, які і стали потім називатися "скалярним твором векторів" і "векторним добутком векторів".

Але це історія. Історія не йде прямими шляхами. Після того, як виявилося зручність використання векторів і скалярних і векторних творів в механіці і в електриці, стало ясно, що кватерніони-то там і не потрібні, і їх відкинули як будівельні ліси. А отримані конструкції продовжили використовувати. Ось з якої стелі це взято, і головне, навіщо.

А ось сенс у них трошки інший. Сенс у них такий. Формули - це дивно потужний інструмент. Виглядають вони, як проста гра зі значками, які можна переставляти, перебирати, нанизувати на ниточки, за дуже простим правилам. Але при цьому легко виходять результати, сенс яких виходить за рамки цих значків. Та ж похідна: взяли, і за формальними правилами написали а отримали кут нахилу дотичній до параболи! Так ось, вектори - це ключ до такої ж легкості в геометрії. Точніше, до векторів була координатна декартова геометрія. Вона теж легко давала потужні можливості, але все-таки була не зовсім зручна. Виходило по координатного методу, що трикутник, коли він вирівняний по осях координат - це один трикутник, а варто його повернути - це інший трикутник. А з векторними позначеннями з'явилася можливість безпосередньо вказувати точки, проводити лінії, вимірювати довжини, кути, опускати перпендикуляри, і все що захочеш - і все це формулами. І ось тут досить важливо зручно вибрати базові операції. Напевно, через відсутність таких операцій, формульна геометрія і не розвивалася до появи векторів. А тут з'явився такий набір, і зарекомендував себе як хороший. (Чого в ньому не вистачає, то дають матриці і тензори.) Так їм і користуються.

Точка вказується просто вектором:
Канонічне рівняння прямої:
Загальне рівняння прямої:
Довжина відрізка: де
кут:
Перпендикуляр з точки на пряму:

Можна вибрати інший набір базових елементів і операцій. Ось тільки чи виявиться він зручніше - ще питання. А "несумісність" з іншими математиками, неможливість говорити на одній мові, ви при цьому отримаєте. Втім, якщо ваш набір виявиться сильно краще, ніж у інших, то його у вас можуть почати позичати. Таке в історії математики відбувалося багато разів (ті ж кватерніони і вектори, тензори і нотація Ейнштейна, зовнішні форми, і це все тільки в одній вузькій області). Правда, і зворотного повно прикладів: вводить людина нововведення, а воно нікому не подобається і не потрібно, і зникає в забутті.

Munin. ух ти, спасибі за такий цікавий екскурс. Вельми пізнавально, хоча і не до кінця зрозуміло (воно й не дивно, в общем-то). (:
Зараз подумав, може бути мені доцільно переформулювати своє питання, як пошук книг по "математичної історії".

Xaositect. Емм, а в чому проблема? З моєї суто фізичної точки зору досить очевидно, що якщо тіло рухається зі змінною швидкістю, то в кожен конкретний момент часу воно рухається з якоюсь конкретною швидкістю, і лише неможливість обчислити цю швидкість швидкість більш елементарними способами народжує необхідність перейти до меж.

скалярний твір характеризує ступінь коллинеарности двох векторів

Цікаве пояснення, вперше зустрічаю. Правда, якщо спиратися на нього, то незрозуміло, навіщо там, "ступінь коллинеарности" цілком можна характеризувати і одним косинусом. Як, втім, і синусом.

це розуміння більш високого рівня

Вибачте, не уточните, про яке "розумінні вищого рівня" Ви говорите?

Munin, ух ти, спасибі за такий цікавий екскурс. Вельми пізнавально, хоча і не до кінця зрозуміло (воно й не дивно, в общем-то). (:
Зараз подумав, може бути мені доцільно переформулювати своє питання, як пошук книг по "математичної історії".

Загалом, історія математики - чудова річ, але я хочу попередити. У ній, як і в історії будь-якої науки, щоб правильно і повністю зрозуміти історію, треба заздалегідь вже розбиратися у всіх тих речах, які будуть згадані. Наприклад, розповідають, як виникає теорія матриць - треба вже знати, що таке матриці, і який вид їх теорія має сьогодні. Це потрібно для правильного розуміння і оцінки кожного повороту думки "це вони пішли в правильному напрямку, а це не туди, виявилося безперспективно". Спокуса виставляти такі оцінки у вас буде в будь-якому випадку, але правильність оцінок при незнанні предмету буде 0%.

Xaositect, Емм, а в чому проблема? З моєї суто фізичної точки зору досить очевидно, що якщо тіло рухається зі змінною швидкістю, то в кожен конкретний момент часу воно рухається з якоюсь конкретною швидкістю, і лише неможливість обчислити цю швидкість швидкість більш елементарними способами народжує необхідність перейти до меж.

А межа-то може і не братися :-) Ви знайомі з броунівським рухом? Математично воно відповідає функції, яка не має похідної ні в одній точці :-)

Вибачте, не уточните, про яке "розумінні вищого рівня" Ви говорите?

Мова ось про що. "Розуміння" саме по собі - це не якесь чарівне "розкриття суті". Це такий стан розуму, що займається якоюсь темою або завданням, що у нього починає працювати інтуїція, без прикладання усвідомлених зусиль з'являються висновки про те, що й до чого. Розуміння буває двох сортів. У першому випадку ви займаєтеся новою темою, обмірковуєте її, і для вас нові поняття як-то лягають на вже знайомі. Наприклад, ви обмірковуєте літаючі в прострастве і зіштовхуються молекули, і уявляєте собі більярдні кулі. Далі в справу вступає ваш вже наявний досвід з більярдними кулями: ви собі можете їх представити, і інтуїція вам легко підказує, що з ними відбувається. Тоді ви говорите, що "зрозуміли", що там відбувається з молекулами. А в іншому випадку, ви займаєтеся новими поняттями самими по собі, настільки довго і різноманітно, що звикаєте до них, і начитався передбачати відповідь до різних завдань ще до того моменту, як сядете і порахуєте. Тут теж інтуїція вам підказує, що відбувається, але це вже інтуїція нова, створена спеціально і цілеспрямовано. І ось буває, що навпаки, старі поняття лягають на нові, і це теж буде "розуміння". Про такому типі розуміння і каже Xaositect. В даному випадку цей тип розуміння краще, тому що раніше був смутний і нечіткий образ, а вийшов набагато більш чітку і однозначну. Але щоб це дійсно стало розумінням, потрібно дуже багато возитися з функціями і межами, а не отбубніть визначення, повирішувати пару прикладів, і побігти далі.

Ну, синус покаже інше.

Чому це раптом.

Хм, а як же індуктивне і дедуктивне викладання математики?

А межа-то може і не братися Ви знайомі з броунівським рухом? Математично воно відповідає функції, яка не має похідної ні в одній точці

Ну так там і про якусь конкретну швидкості в даний момент говорити досить важко.

Гарний приклад. Повертаючись до Вашого питання про те, що я взагалі хочу, відповім: я хочу знайти більярдні кулі для вишеобсуждаемих математичний понять. (:

старі поняття лягають на нові

Ідею зрозумів. Згоден, це дуже цінно.