Фігури в криволінійних координатах

криволінійні координати

Крім звичної нам прямокутної декартової системи координат, в математиці використовуються і інші способи завдання положення точки в просторі або на площині. Найчастіше застосовуються полярні, циліндричні і сферичні координати. Всі ці системи споріднені. У них присутня центральна точка або полюс, від якого розходяться концентричні кола (полярна система координат), циліндри (циліндрична система) або сфери (сферичні координати). Положення точки визначається за допомогою променя, що виходить з полюса і перетинає в заданому місці відповідну окружність, циліндр або сферу. У такі координати дуже природно укладаються багато природні форми. Перераховані криволінійні системи координат ідеально пристосовані для відображення форм, побудованих навколо єдиної центральної точки. Така організація характерна для багатьох біологічних об'єктів. Їх форми часом найдивовижнішим чином нагадують фігури, утворені в криволінійних координатах досить простими і лаконічними математичними виразами. Ця схожість вказує на те, що тіла живих організмів, біологічні структури, утворюються за принципами, схожим з принципами побудови "полярних" об'єктів. Живий організм "починається" з однієї вихідної точки, і потім розвивається і росте в усі сторони по певним математичним законом. Принаймні таке припущення зовсім який суперечить спостерігається в природі достатку "математичних", "полярних" форм. Природа як би сама використовує полярні координати, що особливо впадає в очі на прикладі рослин, примітивних багатоклітинних тварин і комах. Ймовірно тому скульптури, побудовані в полярних координатах, мають неповторну естетичною привабливістю. Вони щільно асоціюються з формами квітів, метеликів, словом, усім тим, що так багато задоволення приносить нашому погляду в живій природі.

Полярна система координат

В полярній системі координат положення точки визначається полярним радіусом R і кутом theta. утвореним полярним радіусом з полярною віссю. Якщо в декартовій системі координат гранично просте вираження y = kx визначає пряму лінію, то це ж вираз, переписане у формі R = k * theta. вже перетворюється в спіраль. Фігури в полярних координатах утворюються як слід кінця бігає по колу полярного радіусу змінної довжини. Довжина полярного радіусу визначається величиною кута, який в даний момент часу він утворює з полярною віссю. В циліндричній системі до полярного радіусу і кутку додається ще одна координата - z, яку можна інтерпретувати як висоту точки над площиною, в якій обертається полярний радіус.

Для того, щоб перейти від полярних координат до декартової системі, використовують формули:

Відповідно, для переходу від декартової системи до полярної застосовують формулу:

Фігури в полярних координатах

Формули кривих, записаних в полярній системі координат, обчислюються набагато простіше, ніж в декартовій. Наприклад, рівняння кола з радіусом 0.9 навколо точки звіту виглядає дуже просто

R = 0.9. що має на увазі наступні обчислення: де кут theta змінюється від 0 до 2π радіан і визначає декартові координати X і Y окружності в полярній системі

Для пояснення вищесказаного наведемо невеликий лістинг програми, яка малює окружність:

Полярні координати дозволяють малювати набагато складніші і красиві фігури. Наприклад, можна намалювати чотирилисник. Його формула виглядає як R = Cos (2 * theta). де кут theta змінюється від 0 до 2π радіан (від 0 до 360 градусів)

Лістинг для конюшини

Для трилистого квітки використовуйте формулу R = Cos (3 * theta)

окружність

Отже, формула R = a визначає звичайну коло, а коефіцієнт a впливає на її радіус

"Піруети" окружності

Візьмемо тепер одне коло і помістимо її всередину іншої. Всі криві, які буде викреслювати точка на кола, що котиться всередині іншої окружності, будуть ставитися до сімейства гіпоциклоїда (від грец. Гіпо - під, внизу і кіклоідес - колоподібний). Як ви думаєте, яку траєкторію опише точка окружності, яка котиться всередині іншої окружності? Як це не дивно звучить, але вона може бути навіть прямий! Для цього радіус внутрішнього кола повинен бути в два рази менше радіуса зовнішньої. Першим це помітив і описав Микола Коперник. Якщо ж радіус внутрішньої окружності менше радіуса великому колу в три рази, то точка опише криву Штейнера (дельтоидов).

Зменшивши радіус тепер в чотири рази, ми отримаємо астроїда

Астроіда (Astroid)

Астроіда (грец. Астрон - зірка) - крива, яка зовні нагадує стилізоване зображення зірки.

Формула x = a * cos (t) ^ 3, y = a * sin (t) ^ 3 малює астроїда,
де коефіцієнт a впливає на витягнутість фігури.

епіциклоїда

Розглянемо інший випадок. Будемо обертати коло не всередині іншої (опорної) окружності, а по її зовнішній стороні. Тепер, усі отримані криві будуть ставитися до сімейства епіциклоїда (греч.епі - на, над). До таких постатей належать кардіодіда і равлик Паскаля