Дивергенція векторного поля - студопедія

Дивергенція (або розбіжність) векторного поля в точці М - це межа відносини потоку вектора через замкнуту поверхню навколишнє точку М, в напрямку її зовнішньої нормалі до обсягу, обмеженому цією поверхнею, за умови, що вся поверхня. стягується в точку М:

Основні властивості дивергенції:

1. - це диференційна характеристика поля, є скалярною величиною.

2.В кожній точці М поля показує наявність джерел або стоків поля:

3. якщо. то в точці М є джерело поля. при цьому значення чисельно дорівнює потужності джерела;

4. якщо. то в точці М є стік поля при цьому значення чисельно дорівнює потужності стоку;

5. якщо. то в точці М немає ні джерела, ні стоку поля

6. обчислюється за формулою:

Скористаємося формулою Остроградського-Гаусса, що зв'язує інтеграл по замкнутій поверхні з інтегралом за обсягом, обмеженому цією поверхнею:

Застосовуємо теорему про повну загальну середню до потрійного інтегралу:

де - це деяка фіксована точка в обсязі, обмеженому замкнутою поверхнею (# 963;),

-величина цього обсягу.

Тепер використовуємо визначення (1) дивергенції:

Так як при точка прагне до точки M.

Якщо використовувати поняття дивергенції, то теорема Остроградського-Гаусса в векторній формі:

тобто потік вектора зсередини замкнутої поверхні дорівнює потрійному інтегралу від дивергенції вектора за обсягом, обмеженому цією поверхнею.

Так як можна розглядати як щільність розподілу джерел і стоків векторного поля то потрійний інтеграл

дорівнює сумарній потужності джерел і стоків за обсягом.

З огляду на це, зміст теореми Остроградського-Гаусса в формі (3) можна сформулювати наступним чином: потік векторного поля зсередини замкнутої поверхні дорівнює сумарній потужності джерел і стоків цього поля, укладених в обсязі. обмеженому цією поверхнею.

Отже, якщо потік дорівнює 0, то всередині поверхні немає джерел і стоків поля або вони врівноважують один одного.

Це випливає з лінійності операцій додавання векторів і диференціювання.

Дивергенція твори скалярного поля на векторне поле обчислюється за формулою:

Приклади 1 (обчислення дивергенції векторного поля)

Дано - поле радіус-вектора точки. обчислити

тобто кожна точка М цього поля є джерелом постійної потужності, що дорівнює 3.

Обчислити і пояснити сенс її значення, якщо

Значення вказує на те, що в заданій точці є джерело векторного поля і потужність цього джерела дорівнює 10,25.

За розглянутого прикладу можна помітити, що будь-який векторне поле супроводжується скалярним полем його дивергенції.

Циркуляцією векторного поля називається криволінійний інтеграл другого роду, взятий за довільним замкнутому контуру # 915 ;. За визначенням.

Де - векторне поле (або вектор-функція), визначене в деякій області D, що містить в собі контур # 915 ;, - нескінченно малий приріст радіус-вектора уздовж контуру. Окружність на символі інтеграла підкреслює той факт, що інтегрування проводиться по замкнутому контуру. Наведене вище визначення справедливо для тривимірного випадку, але воно, як і основні властивості, перераховані нижче, прямо узагальнюється на довільну розмірність простору.

Циркуляція по контуру, що обмежує кілька суміжних поверхонь, дорівнює сумі циркуляцій по контурах, що обмежує кожну поверхню окремо, тобто

Властивість адитивності циркуляції: циркуляція по контуру # 915; є сума циркуляцій по контурах і. тобто C = +

Циркуляція вектора F по довільному контуру Г дорівнює потоку вектора через довільну поверхню S, обмежену даним контуром.

Ротор вектора F.

У разі, якщо контур плоский, наприклад лежить в площині OXY, справедлива теорема Гріна

Де - площину, яку обмежує контуром # 915; (Внутрішність контур).