Диференціальні рівняння з розділеними змінними
Багато студентів запитують "Як знайти рішення диференціального рівняння?" Відповідь можливо неординарний, але що Ви знаєте про диференціальні рівняння (ДУ), їх типах, які поширені схеми обчислень ДУ? З цього потрібно починати.
Сфери застосування диференціальних рівнянь були в загальному окреслені на попередньому уроці. Тут мова піде про один з найпростіших (в плані обчислень) типів ДУ першого порядку серед всіх можливих рівнянь що Вас чекають. Почнемо з базових понять теорії які Ви повинні знати і ми будемо використовувати в термінології. Для одних це не потрібно, тому що вони шукають готові відповіді з диференціальних рівнянь і думають, що таким чином вирішать всі проблеми. Але це помилка, тому що не знання елементарних понять з теорії ДУ порівняно з тим, що Ви намагаєтеся говорити, попередньо не вивчивши звуки і алфавіт.
Диференціальне рівняння першого порядку. яке можна записати формулою
N (х) dx + М (у) dy = 0 (1)
називають рівнянням з розділеними змінними.
Їх не важко виявити серед інших рівнянь, основна ознака - множники при dx і dy є функціями (константами), які залежать тільки від х при множнику dx і у при dy.
Щоб знайти загальне рішення (загальний інтеграл) рівняння з розділеними змінними необхідно проінтегрувати рівняння (1)
Int (N (x), x) + Int (M (y), y) = С,
Для розуміння диференціальне рівняння (1) можна приймати, як умова рівності нулю повного диференціала деякої функції двох змінних U (x, y)
Звідси випливає що функція U (x, y) = С = const дорівнює постійної.
Диференціальне рівняння виду
f1 (x) * g1 (y) dx + f2 (x) * g2 (y) dy = 0 (2)
називають диференціальним рівнянням із перемінними в симетричній формі.
У рівнянні (2) коефіцієнти при диференціалах dx і dy є творами двох функцій: одна залежить тільки від x. а друга - від y. В області, де g1 (y), f2 (x) приймають відмінні від нуля значення в рівняння із перемінними (2) зводиться до рівняння з розділеними змінними
Звучить як гра слів: розділеними, що розділяються, однак між ними як бачите є маленька різниця, і тепер Ви її знаєте.
Розглянемо типові для практики завдання на диф. рівняння першого порядку, які в досить простий спосіб можна звести до рівнянь з розділеними змінними.
Приклад 2 Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння
Рішення: Маємо рівняння в диференціалах першого порядку. Розділимо в рівнянні змінні, що містяться при dx, dy і перенесемо їх по різні боки знака рівності
З перших дужок виносимо загальний для двох доданків множник y за дужки
Далі розділимо множники так, щоб при dy отримати функцію тільки від y. а при dx - функцію аргументу x. В результаті отримаємо диференціальне рівняння з розділеними змінними
після інтегрування
отримаємо кореневу залежність для y і арктангенс в результаті обчислення інтеграла по аргументу (права сторона).
Загальний інтеграл можемо залишити в такій формі або перенести артангенс в ліву частину залежності.
Так само можемо записати рішення диференціального рівняння у вигляді залежності y (x) (явному вигляді). Для цього зведемо обидві частини до квадрату
і перенісши став в праву сторону, обчислимо корінь квадратний
Це і є шукане рішення диференціального рівняння.
Приклад 3 Розв'язати диференціальне рівняння
Рішення: Дане ДУ першого порядку необхідно звести під правило рішення рівнянь з розділеними змінними. Для цього другий доданок, що зі знаком мінус, переносимо в праву сторону від знака рівності
і поділяємо змінні
Проинтегрируем ліву і праву сторону залежно
В результаті прийдемо до логарифмическому рівняння виду
І знову звертаємо Вашу увагу на те що в такому вигляді як правило, не записують.
Доцільно, для компактності кінцевого рішення, постійну вносити під логарифм, тобто в формі
Взявши експоненту від правої і лівої частини формули прийдемо до кінцевого виду рішення диференціального рівняння
Як Ви могли переконатися приклади досить прості, методика обчислень ДУ з розділеними змінними легка для вивчення.
Хочете вірте, а хочете - ні, але це найпростіший тип диференціальних рівнянь, з яким Вам прідетсяіметь справу на контрольній, іспитах, практичних заняттях, модулях. Це можна сказати найважливіша частина, оскільки складні диференціальні рівняння доведеться спрощувати і зводити до рівнянь з розділеними змінними.
Схему обчислень повинні завчити і знати на зубок - це один з основних методів вирішення складних прикладів на диф. рівняння.