Цілі числа, математика, яка мені подобається

1. Подільність цілих чисел. Властивості подільності. Теорема про розподіл із залишком

Визначення. Нехай - цілі числа. Кажуть, що число ділиться на, якщо можна представити у вигляді, де - ціле число.

Інакше: - дільник.

Нехай - цілі числа, число - просте.

1. Якщо в рівності два числа діляться на, то і третє число ділиться на.

4. Якщо, то або, або.

Приклад. Довести, що якщо і, то і.

(A + b + c) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2 (ab + ac + bc) \ Rightarrow2 (ab + ac + bc) \ vdots m, \\
4 (ab + bc + ac) ^ 2 = 4 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) + 8abc (a + b + c),
\ End "title =" \ begin
(A + b + c) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2 (ab + ac + bc) \ Rightarrow2 (ab + ac + bc) \ vdots m, \\
4 (ab + bc + ac) ^ 2 = 4 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) + 8abc (a + b + c),
\ End "style =" vertical-align: -20px; border: none; ">
звідки

2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) \ vdots m, \\
a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2-2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2)
\ Rightarrow \\
a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 \ vdots m.
\ End "title =" \ begin
2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) \ vdots m, \\
a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2-2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2)
\ Rightarrow \\
a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 \ vdots m.
\ End "style =" vertical-align: -33px; border: none; ">

Теорема. Будь-яке ціле представляється єдиним способом за допомогою цілого рівністю виду, де - цілі,. Число називається приватним, - залишком від ділення на.

Приклад. Чи може число ділитися на, а при діленні на давати в залишку?

Рішення. Числа, що діляться на 8, мають вигляд,, а при діленні на що дають в залишку, - вид,. Розглянемо всі залишки при діленні на Н.О.К. . Діляться на числа виду, і жодне з них при розподілі на це не дає в залишку.

2. Порівняння та їх властивості

Визначення. Нехай і - цілі числа, - натуральне число. Кажуть, що можна порівняти з по модулю, якщо при розподілі на вони дають однакові залишки.

Теорема. порівняно з по модулю тоді і тільки тоді, коли.

Вправа. Які залишки можуть давати квадрати цілих чисел при діленні на; куби цілих чисел при діленні на, на?

Приклад. Довести, що якщо - просте число, то

Рішення. За умовою, . Тоді так як

залишається довести, що другий множник ділиться на.

Звідси отримуємо необхідну.

3. Теореми Ферма і Ейлера

Теорема (Ферма). Якщо просте і не ділиться на, то

Теорема (Ейлер). Для будь-яких натуральних взаємно простих і виконується

Слідство. Нехай,, Н.О.Д. . Тоді.

Приклад. Довести, що якщо, то.

Те ж для і. - числа попарно взаємно прості.

4. Приклади розв'язання нелінійних рівнянь

1. Вирішити рівняння в натуральних числах

Рішення. Розкладемо ліву частину рівняння на множники:

Уявімо у вигляді добутку двох натуральних множників усіма можливими способами:

Прирівнюємо один з множників зліва одному, інший - іншого. Вирішуємо отримані системи. Можливо спрощення: тут числа і однаковою парності.

Зауваження. При пошуку цілих рішень розглядали б також розкладання і т.д.

2. Вирішити в цілих числах рівняння

Рішення. На множники НЕ розкладається. висловимо:

При цілому також буде цілим, якщо, що можливо при.

3. Довести, що рівняння не має цілих рішень.

Рішення. Порівняння по модулю:, що неможливо, так як квадрати цілих чисел при діленні на можуть давати залишки або, або.

Теорема. Число - просте тоді і тільки тоді, коли виконується порівняння

Приклад (теорема Лейбніца). Довести, що число просте тоді і тільки тоді, коли

Рішення. По теоремі Вільсона - просте

1. Знайдіть залишок від ділення

а) останню цифру числа;

б) дві останні цифри числа.

3. Доведіть (без калькулятора), що такі числа складові:

4. Доведіть, що в послідовності немає квадратів цілих чисел.

5.а) При яких натуральних значеннях число ділиться на?

б) Доведіть, що число ділиться на тоді і тільки тоді, коли число ділиться на.

6. Вирішіть рівняння в цілих числах:

7. Нехай - ціле число,. Чи ділиться на?

8. На 44 деревах, розташованих по колу, сиділи 44 веселих чижа (на кожному дереві - по Чижа). Час від часу два чижа одночасно перелітають на сусідні дерева в різних напрямках (один - за годинниковою стрілкою, а інший - проти). Доведіть, що чижі не зможуть зібратися на одному дереві.

9. Доведіть, що рівняння

не має цілих рішень.

10. Нехай число - просте,. Доведіть, що

якщо ж - просте,, доведіть, що

11. Натуральне число. Доведіть, що сума всіх натуральних дільників числа (включно з) також ділиться на.

12. Знайдіть залишок від ділення цілої частини числа на.

13. Знайдіть всі рішення рівняння

в натуральних числах.