Циклічні групи і підгрупи та їх властивості

Визначення. Нехай - група і. Порядок елемента - це найменше ціле позитивне число таке, що. Якщо такого не існує, що за визначенням має нескінченний порядок. Група циклічна. якщо вона складається з усіх ступенів деякого одного елемента, тобто . Елемент називається породжує.

Приклад. Група є циклічною, а довільний первісний корінь є породжує елементом.

Група є циклічною з породжують її елементами.

Затвердження [Властивості циклічних груп.]

Якщо - нескінченна циклічна група з породжує. то все ступеня різні для.

Якщо - циклічна група кінцевого порядку до породжує. то - це список всіх різних елементів в.

Елемент В циклічної групи є породжує тоді і тільки тоді, коли.

Дві циклічні групи ізоморфні тоді і тільки тоді, коли вони мають однакові порядки.

Будь-яка підгрупа циклічної групи є циклічною групою. Якщо. то в якості породжує для можна вибрати. де - найменше позитивне ціле число зі властивістю.

Якщо в . то показник ділить.

Для кожного дільника порядку циклічної групи існує єдина підгрупа порядку.

Нехай - циклічна група порядку для деякого простого. Тоді для будь-яких двох підгруп і в або або.

Визначення. Нехай - довільна підмножина в групі. Безліч називається системою породжують групи. якщо будь-який елемент може бути записаний у вигляді. де і . .

Приклад. Системою породжують групи є безліч всіх транспозиція.

Довести, що підстановки і складають систему породжують в.

У групі парних підстановок при можна вибрати систему породжують, що складається з усіх циклів довжини.