Циклічна група, математика, fandom powered by wikia
В теорії груп група називається циклічною. якщо вона породжена одним елементом a. тобто всі її елементи є ступенями a (або, якщо використовувати аддитивную термінологію, представимо у вигляді na. де n - ціле число.)
Таким чином, ми називаємо G циклічної, якщо G = an |>. Інакше кажучи, група G циклічна, якщо в G будь-яка підгрупа. що містить a. збігається з G. Це випливає з того, що в такий підгрупі повинні міститися всі ступені елемента a.
Наприклад, якщо G = e. g 1. g 2. g 3. g 4. g 5>, то G циклічна. В цьому випадку можна помітити, що G влаштована також, як і група з операцією додавання по модулю 6 (кажучи формально, G ізоморфна їй). Ізоморфізм будується, якщо у відповідність g поставити 1 з другої групи.
Для кожного числа існує єдина (з точністю до ізоморфізму) циклічна група такого порядку. Також існує рівно одна нескінченна циклічна група. Через таку простоту їхнього будови циклічні групи досконально вивчені і класифіковані.
Незважаючи на свою назву, група не обов'язково повинна буквально являти собою «цикл». Може трапитися так, що всі ступені будуть різними. Породжена таким чином група називається нескінченною циклічної групою і ізоморфна групі цілих чисел по складанню ().
Оскільки всі циклічні групи абелеві. їх часто позначають як, хоча деякі математики такого позначення уникають, позначаючи їх як Факторгруппа цілих чисел (), щоб не сплутати з іншими загальноприйнятими позначеннями.
властивості Правити
Кожна циклічна група ізоморфна групі зі складанням по модулю n або, групі цілих чисел по складанню. Таким чином, для розуміння пристрою всіх циклічних груп досить вивчити тільки ці. Така властивість робить циклічні групи дуже легкими для вивчення. Відомо багато цікавих властивостей таких груп. Нехай дана циклічна група G порядку n (можливо, нескінченного). Тоді для всіх g з G вірно слеующее:
- G абелева; тобто групова операція коммутативна: ab = ba. Це вірно, оскільки (a + b) mod n = (b + a) mod n.
- якщо n <, то , поскольку n mod n = 0.
- Якщо ж n =, то існують тільки два породжують елементи: 1 і -1 (в позначеннях).
- Кожна підгрупа G циклічна.
- Gn ізоморфна (факторгруппа по), оскільки = з складанням по модулю n.
Породжують є все числа від 1 до n. які взаємно прості з n; їх кількість дорівнює # 966; (n), де # 966; - функція Ейлера. Більш загально, якщо d є дільником n. то число елементів порядку d в одно # 966; (d). Порядок класу вирахування m дорівнює n / НОД (n, m).
Якщо p - просте число. то група порядку p циклічна і єдина з точністю до ізоморфізму (це випливає з теореми Лагранжа).
Пряме твір двох циклічних груп і циклічно тоді і тільки тоді, коли n і m взаємно прості. Наприклад, є прямим твором і, але не та.
Основна теорема про конечнопорождённих абелевих групах стверджує, що будь-яка конечнопорождённая абелева група єдиним чином розкладається в прямий добуток примарной циклічних груп. Примарной групою може бути циклічна група, де p - просте число, або.
також є комутативними кільцями (по складанню і множенню). Якщо p - просте число, то - кінцеве поле. також позначається Fp або GF (p). Кожне кінцеве поле з p елементами ізоморфно Fp.
Мультиплікативна група будь-якого кінцевого поля є циклічної (вона породжується елементом поля найбільшого порядку).
приклади Правити
Група Галуа будь-якого кінцевого розширення кінцевого поля конечна і циклічна; назад, якщо дано кінцеве поле F і кінцева циклічна група G. існує кінцеве розширення F групою Галуа якого буде G.
подання Правити
Циклічні діаграми циклічних груп є n -сторін багатокутниками, їх елементи розташовуються в вершинах. Заштрихованная вершина позначає нейтральний елемент групи, а інші елементи розташовуються по колу в порядку зростання ступеня утворює елемента.
ендоморфізм Правити
Кільце ендоморфізм групи ізоморфно самій групі як кільцю. При цьому ізоморфізмі числу r відповідає ендоморфізм, який зіставляє елементу суму r його примірників. Таке відображення буде біекція. якщо і тільки якщо r взаємно просто з n. так що група автоморфізмів ізоморфна .cs: Cyklická grupa eo: Cikla grupo he: חבורה ציקלית hu: Ciklikus csoport nl: Cyclische groep pl: Grupa cykliczna sr: циклічність група sv: Cyklisk grupp vi: Nhóm cyclic