Чотири формули, за якими можна обчислити площу ромба

Ромб - це особлива постать в геометрії. Завдяки його особливим властивостям, існує не одна, а кілька формул, за допомогою яких обчислюється площа ромба. Що це за властивості і які найбільш поширені формули для пошуку площі цієї фігури існують? Давайте розберемося.

Яка геометрична фігура називається ромбом

Перш ніж з'ясувати, чому дорівнює площа ромба, варто дізнатися, що ж це за фігура.

Ромбом з часів Евклідовій геометрії називається симетричний чотирикутник, всі чотири сторони якого є рівними між собою по довжині і попарно паралельними.

походження терміна

Назва цієї фігури прийшло в більшість сучасних мов з грецького, через посередництво латині. «Прародителем» слова «ромб», стало грецьке іменник ῥόμβος (бубон). Хоча жителям двадцятого століття, які звикли до круглих Бубнов, важко уявити їх іншої форми, але у еллінів ці музичні інструменти традиційно виготовляють не круглої, а ромбовидної форми.

У більшості сучасних мов даний математичний термін вживається, як і в латині: rombus. Проте в англійській мові іноді ромби називають diamond (алмаз або домінують). Таке прізвисько дана фігура отримала через свою особливої ​​форми, що нагадує дорогоцінний камінь. Як правило, подібний термін використовують не для всіх ромбів, а тільки для тих, у яких кут перетину його двох сторін дорівнює шістдесяти або сорока п'яти градусів.

Вперше ця фігура була згадана в працях грецького математика, який жив в першому столітті нової ери - Герона Олександрійського.

Якими властивостями володіє ця геометрична фігура

Щоб знайти площу ромба, в першу чергу потрібно знати, якими особливостями володіє дана геометрична фігура.

Як вже було сказано у визначенні ромба, він є чотирикутником. А з тієї причини, що його протилежні сторони попарно є паралельними між собою, ромб також може іменуватися параллелограммом, а значить, на нього поширюється більшість властивостей цієї фігури.Обе діагоналі ромба в точці свого перетину рівномірно діляться надвоє. А через те, що перетинаються вони під кутом в дев'яносто градусів, діагоналі ділять фігуру на 4 трикутника прямоугольних.В будь-якому ромбі діагоналі ділять його кути навпіл, будучи одночасно їх біссектрісамі.Еслі кожну з двох діагоналей ромба звести в ступінь квадрата, то їх сума буде дорівнює добутку квадрата сторони цієї фігури і числа четире.Еслі з'єднати лініями середини чотирьох сторін ромба, отримана фігура виявиться прямоугольніком.Еслі в ромб (незалежно від його кутів) вписане коло, тоді її центральна точка співпаде з центром перетину діагоналей.Діагоналі в ромбі стикаються з осями його симетрії під кутами дев'яносто градусов.Поскольку всі сторони ромба ідентичні між собою по довжині, його периметр обчислюється за формулою Р = 4 х К (К - це довга однієї зі сторін).

За яких умов паралелограм є ромбом

Як відомо, кожен ромб є паралелограма, але при цьому не всякий паралелограм - це ромб. Щоб точно стверджувати, що представлена ​​фігура дійсно є ромбом, а не простим параллелограммом, вона повинна відповідати одному з трьох основних ознак, що виділяють ромб. Або всім трьом відразу.

Діагоналі паралелограма перетинаються під кутом дев'яносто градусов.Діагоналі поділяють кути надвоє, виступаючи в якості їх біссектріс.Не тільки паралельні, але і суміжні сторони мають однакову довжину. У цьому, до речі, одне з основних відмінностей між ромбом і параллелограммом, оскільки у другій фігури однакові по довжині лише паралельні сторони, але не суміжні.

За яких умов ромб є квадратом

За своїми властивостями в окремих випадках ромб одночасно може ставати квадратом. Щоб наочно підтвердити це твердження, досить просто повернути квадрат в будь-яку сторону на сорок п'ять градусів. Фігура, яка виявиться ромбом, кожен з кутів якого дорівнює дев'яноста градусів.

Також, щоб підтвердити, що квадрат є ромбом, можна зіставити ознаки цих фігур: в обох випадках всі сторони рівні, а діагоналі є биссектрисами і перетинаються під кутом в дев'яносто градусів.

Як дізнатися площа ромба з допомогою його діагоналей

У сучасному світі в інтернеті можна знайти практично всі матеріали для виконання необхідних розрахунків. Так, існує маса ресурсів, оснащених програмами для автоматичного обчислення площі тієї чи іншої фігури. Причому, якщо (як у випадку з ромбом) є кілька формул для цього, тобто можливість вибирати, який з них найзручніше буде скористатися. Однак, перш за все, необхідно самим вміти обчислювати площу ромба без допомоги комп'ютера і орієнтуватися в формулах. Для ромба їх існує чимало, але найвідоміші з них чотири.

Одним з найпростіших і розповсюджених способів дізнатися площа цієї фігури, якщо є інформація про довжину його діагоналей. Якщо в задачі є ці дані, в такому випадку можна застосувати наступну формулу для знаходження площі: S = КМ x LN / 2 (КМ і LN - це діагоналі ромба KLMN).

Можна перевірити достовірність цієї формули на практиці. Припустимо, у ромба KLMN довжина однієї його діагоналі КМ - 10 см, а другий LN - 8 см. Тоді підставляємо ці дані в зазначену вище формулу, і отримуємо наступний результат: S = 10 х 8/2 = 40 см2.

Формула для обчислення площі паралелограма

Існує і інша формула. Як було зазначено вище в визначенні ромба, він є не просто чотирикутником, а й параллелограммом, і володіє усіма особливостями даної фігури. У такому випадку для знаходження її площі цілком доцільно використовувати формулу, яка застосовується для паралелограма: S = KL х Z. У даній випадку KL - це довга боку паралелограма (ромба), а Z - це довга висоти, проведеної до цієї стороні.

В окремих завданнях довжина сторони не надано, зате відомий периметр ромба. Оскільки вище було вказано формула його знаходження, з її допомогою можна дізнатися і довжину сторони. Отже, периметр фігури - 10 см. Довжину боку можна дізнатися, інвертовану формулу периметра і розділивши 10 на 4. Результатом виявиться 2,5 см - це і є шукана довжина сторони ромба.

Тепер варто спробувати підставити це число в формулу, знаючи, що довжина висоти, проведеної до сторони, також дорівнює 2,5 см. Тепер спробуємо поставити ці значення в вищезгадану формулу площі паралелограма. Виходить, що площа ромба дорівнює S = 2,5 х 2,5 = 6,25 см2.

Інші способи обчислення площі ромба

Ті, хто вже освоїли синуси і косинуси, можуть використовувати для знаходження площі ромба формули, що містять їх. Класичним прикладом служить наступна формула: S = КМ2 х Sin KLM. В даному випадку площа фігури дорівнює добутку двох сторін ромба, помноженому на синус кута між ними. А оскільки в ромбі всі сторони однакові, то простіше відразу зробити одну сторону в квадрат, як і було показано у формулі.

Перевіряємо на практиці дану схему, причому не просто до ромбу, а до квадрату, у якого, як відомо, всі кути прямі, а значить, рівні дев'яносто градусів. Припустимо, одна зі сторін дорівнює 15 см. Також відомо, що синус кута в 90 ° дорівнює одиниці. Тоді, відповідно до формули, S = 15 х 15 х Sin 90 ° = 255х1 = 255 см2.

Крім перерахованих вище, в окремих випадках використовується ще одна формула, з використанням синуса для визначення площі ромба: S = 4 х R2 / Sin KLM. В даному варіанті використовується радіус вписаного в ромб кола. Він підноситься до рівня квадрата і множиться на чотири. А весь результат ділитися на синус кута, прилеглого до вписаною фігурі.

Як приклад для простоти обчислень візьмемо знову квадрат (синус його кута буде завжди дорівнює одиниці). Радіус вписаного в нього кола - 4,4 см. Тоді площа ромба буде обчислюватися так: S = 4 х 4,42 / Sin 90 ° = 77,44 см2

Наведені вище формули знаходження радіуса ромба - далеко не єдині в своєму роді, проте вони є найбільш простими для розуміння і проведення обчислень.

вулиця Кіевян, 16 0016 Вірменія, Єреван +374 11 233 255