Безперервність функції на проміжку

Визначення 1: Функція f (x) називається неперервною в інтервалі (а; b). якщо вона неперервна в кожній точці цього інтервалу.

Визначення 2: Функція f (x) називається неперервною на відрізку [а; b], якщо вона неперервна в кожній точці інтервалу (а; b), і неперервна в точці а справа, і в точці b ліворуч.

Будь-яка елементарна функція неперервна на своїй області визначення.

Теорема 2: (I теорема Больцано-Коші) Нехай функція f (х) неперервна на відрізку [а; b] і на кінцях відрізка має значення різних знаків. Тоді існує точка з Î(А; b), в якій f (с) = 0.

Її геометричний сенс: безперервна крива при переході з однієї напівплощини, межею якої є вісь Ох. в іншу перетинає цю вісь.

Її геометричний сенс: безперервна функція f (х) при переході від одного значення до іншого приймає і всі проміжні значення.

Слідство: Якщо функція f (х) визначена і неперервна на деякому проміжку Х. то безліч її значень Y також представляє певний проміжок.

Визначення 3: Функція f (x) називається обмеженою на відрізку [а; b], якщо існує число М> 0 таке, що для всіх х Î[А; b] виконується нерівність | f (x) | £ M.

Теорема 4: (I теорема Вейєрштрасса) Якщо функція f (х) визначена і неперервна на відрізку [а; b], то вона обмежена на цьому відрізку.

Зауваження: для інтервалу (а; b) теорема невірна.

Визначення 4: Точної верхній (нижній) гранню функції f (x), визначеної на Х. називається найменша (найбільша) з верхніх (нижніх) граней, що обмежують Y зверху (знизу).

Теорема 5: (II теорема Вейєрштрасса) Якщо функція f (х) неперервна на відрізку [а; b], то вона досягає на цьому відрізку своїх точних граней, тобто існують точки х1. х2 Î[А; b] такі що

Зауваження: після цього можна ввести визначення:

Визначення 5: Точна верхня (нижня) грань функції f (x) називається максимальним (мінімальним) значенням функції на відрізку.

Теорема 5: (II теорема Вейєрштрасса) Безперервна на відрізку функція має на цьому відрізку максимальне і мінімальне значення.

Теорема 6: (про безперервність зворотної функції) Нехай функція у = f (х) визначена, строго монотонна і неперервна на деякому проміжку Х і нехай Y - безліч її значень. Тоді на безлічі Y зворотна функція х = j (у) однозначна, строго монотонна і неперервна.

Нехай на деякому проміжку X визначена функція y = f (x). Візьмемо будь-яку точку х0 ÎХ і поставимо аргументу х в точці х0 довільне збільшення D х таке, що точка х0 + D х також належить X. Функція одержить збільшення Dу = f (х0 + D х) -f (x0).

Визначення 1: Похідній функції у = f (x) в точці х0 називається границя при D х ®0 відношення приросту функції в цій точці до приросту аргументу (за умови, що ця межа існує).

Геометричний зміст похідної. Нехай функція y = f (x) визначена на інтервалі (а. B) і нехай точка М на графіку функції відповідає значенню аргументу х0. а точка Р - значенням х0 + D х. Проведемо через точки М і Р пряму і назвемо її січною. Позначимо через j (D х) кут між січною і позитивним напрямом осі Ох. Очевидно, що цей кут залежить від D х.

Якщо існує. то пряму з кутовим коефіцієнтом k = tgj0. що проходить через точку М (х0; f (x0)) називають граничним становищем січної МР при D х ®0 (або при Р ®М).

Визначення 2: Дотичній S до графіка функції у = f (x) в точці М називається граничне положення січної МР при D х ®0 (або при Р ®М).

Отже, похідна функції y = f (x) в точці х0 дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції y = f (x) в точці М (х0; f (x0)) і дорівнює тангенсу кута нахилу дотичній з позитивним напрямку осі абсцис.

Фізичний зміст похідної. Припустимо, що функція y = f (x) описує закон руху матеріальної точки М по прямій лінії, т. Е. У = f (х)-шлях, пройдений точкою М від початку відліку за час х.

Ставлення Dу / D х називається середньою швидкістю руху (vср) за час D х. а межа відносини Dу / D х при D х ®0 визначає миттєву швидкість точки в момент часу х0 (vмгн).

Визначення 3: Функція y = f (x) називається диференційованою в точці х0. якщо її приріст Dy в цій точці можна представити у вигляді Dy = А D х + a (D х) D х,

де А - деяке число, яке залежить від D х. а a (D х) - функція аргументу D х. є нескінченно малою при D х ®0, т. е.. Доведено, що А = f ¢ (х0).

Встановимо зв'язок між диференціюється в точці і існуванням похідної в тій же точці.

Теорема 1: Для того щоб функція y = f (x) була диференційована в точці х0. необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці кінцеву похідну.

Таким чином, для функцій однієї змінної дифференцируемость і існування похідної - поняття рівносильні. Тому операцію знаходження похідної часто називають диференціюванням.

Теорема 2: Якщо функція y = f (x) диференційована в цій точці х0. то вона і неперервна в цій точці.

Зауваження. Протилежне твердження невірно. Функція може бути безперервною в точці, але не бути дифференцируемой, т. Е. Не мати похідної в цій точці.