Аффинная система координат - студопедія

1º. Виберемо в просторі An точку O і довільний базис векторного простору Vn, тобто таку впорядковану систему векторів, що виконані дві умови:

а) система лінійно незалежна;

б) будь-який вектор з Vn є лінійною комбінацією векторів цієї системи (через них лінійно виражається).

Відомо з курсу алгебри, що в просторі Vnсуществуют хоча б один базис ізnвекторов і будь-який його базис складається також ізnвекторов.

Визначення 1. сукупність точки O і базису називається аффинной системою координат або аффінним репером (репер (лат.) - мітка) простору і позначається символом або коротше.

Крапку O назвемо початком координат. а вектори - координатними векторами. Осі проходять через точку O в напрямку векторів, називають координатними осями і позначають

Нехай M - довільна точка простору An. в якому поставлено репер. Розкладемо радіус-вектор точки M по базису:

(Таке розкладання завжди існує і єдино = ТЕОРЕМА)

Визначення 2. числа називаються координатами точкіM в системі координат. Записують або коротше.

Таким чином, координатами точки M в репереназиваются координати радіус-вектора цієї точки в базисі.

Зауваження 1. так як будь-який вектор має в даному базисі цілком певні координати, то координати точки в даній системі координат визначені однозначно (встановлена ​​біекція між точками простору An і впорядкованими наборами з n дійсних чисел).

Теорема 1. координати вектора дорівнюють різницям відповідних координат точок N і M.

# 9633; Нехай M () і N () в репере, тоді по аксіомі трикутника II, звідки маємо # 9632;

2º. Перехід до нової системи координат

Розглянемо в просторі An дві аффінниє системи координат: стару і новою

Нехай (3), тобто, а нові координатні вектори виражаються через старі за формулами:

причому, так як вектори базису лінійно незалежні, то (5).

Теорема 2. якщо початок нової аффинной системи координат і старі і нові координатні вектори зв'язані співвідношеннями (3) і (4) за умови (5), то координати довільної точки M в старій системі координат виражається через її координати в новій системі координат за формулами.

, за умови (6)

За умовою маємо:

За аксіомі трикутника II маємо:

Підставами в (10) вирази з (3), (4), (8) і (7), отримаємо наступне рівність:

Розкривши дужки і привівши подібні доданки:

Так як координати вектора в даному базисі визначені однозначно, то коефіцієнти при однакових векторах в лівій і правій частинах рівності (11) рівні, отже, справедливі формули (6), умова (5) також виконується. # 9632;

Визначення 3. формули (6) наз. формулами перетворення координат точки при переході до нової АСК.

Зауваження 2. як відомо з курсу алгебри, формули перетворення координат вектора при переході до нового базису мають вигляд:

Вправа. в просторі дано п'ять точок:,,,,. Записати формули перетворення координат точок, поклавши: